Propiedades del producto punto

Question

Quiero probar o contradecir la siguiente afirmación:

Si tomamos dos vectores$\mathbf{v}_1$y$\mathbf{v}_2$en$\mathbb{R}^{d}$($d$no es necesariamente 2, por lo que las pruebas geométricas no están disponibles) y el ángulo entre ellos está definido por$\cos(\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}) = \frac{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_2}{\Vert \mathbf{v}_1 \Vert \Vert \mathbf{v}_2 \Vert}$se sostiene lo siguiente:

1. Para cualquier vector$\mathbf{u}$S t$\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = 1$si denotamos$\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1+\mathbf{u}$y$\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2+\mathbf{u}$Nosotros recibiremos$\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$
2. Para cualquier vector$\mathbf{u}$S t$\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = -1$si denotamos$\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1-\mathbf{u}$y$\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2-\mathbf{u}$Nosotros recibiremos$\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$

Estoy bastante seguro de que lo anterior se cumple, ya que realicé muchas simulaciones numéricas y parece que se cumple, es decir, creo que la afirmación debe probarse y no contradecirse.

Intenté usar la definición algebraica de coseno con algunos trucos algebraicos (desigualdad triangular, etc.) y no funcionó, lo mismo con la desigualdad de coseno generalizada (para vectores).

Answer 1

Ambas afirmaciones son falsas. Dado que podemos obtener un reclamo del otro reemplazando$u$por$-u$, basta para refutar que la primera afirmación.

Elija dos vectores linealmente independientes$u$y$v_1$tal que$v_1^Tu>0$. . . . Dejar$v_2=2v_1$. . . . Después$v_2^Tu>0$pero$$ \alpha_{v_1,v_2}=0<\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$Para un contraejemplo concreto, sea\begin{aligned} u&=(1,1)^T,\\ v_1&=(1,0)^T,\\ v_2&=(2,0)^T,\\ \tilde{v_1}=u+v_1&=(2,1)^T,\\ \tilde{v_2}=u+v_2&=(3,1)^T. \end{aligned}Después$$ \frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|}=1 >\frac{7}{\sqrt{50}}=\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} $$y por lo tanto$$ \alpha_{v_1,v_2} =\arccos\frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|} <\arccos\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} =\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$por molestar$v_2$ligeramente a lo largo de una dirección normal a sí mismo, también se puede obtener un contraejemplo en el que$v_1$y$v_2$no son linealmente dependientes.