Prueba de seno de suma

Question

Estoy probando la fórmula $$ \sin{ \left(x+y \right)} =\sin{x} \cos{y}+\cos{x} \sin{y}$$utilizando la fórmula de Euler. Esta fórmula de suma es necesaria para probar la derivada del seno.

Solo me pregunto si entonces hago un argumento circular, ya que todas las pruebas de la fórmula de Euler que he visto requieren conocer las derivadas del seno y el coseno.

Answer 1

Ahlfors en su libro de análisis complejo define $e^z$ para satisfacer la ecuación $f'(z)=f(z)$ para todos $z$ en el plano complejo, y $f(0)=1$. De esta definición deriva la expansión en serie de potencias de$e^z$y demostrar que converge en todas partes. También muestra$e^{a+b}=e^ae^b$utilizando la regla de Leibniz para derivados. Entonces define$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ y $\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$. De esta fórmula de Euler es derivable sin la derivada de$\sin$.