Prueba de verificación y comprensión necesarias

Nov 28 2020

Utilice el resultado del ejercicio 1 para probar si A es infinito y B finito y B es un subconjunto finito de A, entonces A \ B es infinito

Ejercicio 1 Sean A, B conjuntos finitos disjuntos. y A≈m. y B≈n, entonces. A ∪ B ≈ m + n. Concluya que la unión de dos conjuntos finitos es finita.

Nota : el problema proviene de un libro de teoría de conjuntos de Pinter

Prueba intentada (advertencia lector: que el lector tenga cuidado ... Mi conocimiento del conjunto infinito es inestable, puedo usar inducción y mapeo)

Probé el ejercicio 1. (Reescritura completa)

Escribe A = (A \ B)$\cup$ B (1)

Utilizando $A \cup B $ del ejercicio 1 obtenemos A \ B = ($A\cup B)\cap B^{c}$ (2)

Ahora suponga que A tiene un subconjunto B numerable y que A es finito; es decir, A ≈ n, B ⊆ A y B ≈ ω. Entonces B$\subset$(A \ B)$\cup$ SEGUNDO.

A \ B no puede ser finito ya que A es infinito Si a$\in$A \ B luego a$\in B^{c}$ luego $B^c$ es infinito, lo cual es una contradicción ya que B es finito

Por tanto, A / B es infinito

Ayuda

Respuestas

PaulSinclair Nov 29 2020 at 19:32

Unas pocas cosas:

  • $A\setminus B = \{x \in A: x \notin B\}$. Así$$A\setminus B = A\cap B^\complement$$ No hay razón para la unión en todos los elementos de $B$ antes de eliminarlos cruzando con $B^\complement$.
  • Deduces

$A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$

Entonces $A\setminus B$ y $B$ son inconexos.

Cualquier argumento por el que puedas conseguir "$A\setminus B$ y $B$ son disjuntos "de $A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$ funcionaría mucho más fácilmente desde su declaración (2): $A\setminus B= (A\cup B)\cap B^\complement$. O más fácilmente aún de (lo que supongo es la definición que da Pinter para$A\setminus B$): $A\setminus B = A\cap B^\complement$. Estaba claramente yendo en la dirección equivocada y, evidentemente, simplemente decidió fingir, esperando que su lector estuviera igualmente perdido y asumiera que en realidad había demostrado algo.

Ese $A\setminus B$ y $B$son inconexos es algo tan obvio que es cuestionable si era necesario demostrarlo. Por la definición de constructor de conjuntos que di, es demostrable al señalar que$x \in A\setminus B \implies x \notin B$, por lo tanto no hay $x$ que está en ambos $A\setminus B$ y $B$. Si insiste en una prueba "algebraica de conjuntos", entonces$$(A\setminus B) \cap B = (A \cap B^\complement)\cap B = A\cap(B^\complement\cap B) = A\cap\varnothing = \varnothing$$

  • No está haciendo un seguimiento de sus propias suposiciones:

Ahora suponga que $A$ tiene un subconjunto numerable $B$ y $A$es finito ; es decir,$A \approx n, B \subseteq A$y $B \approx \omega$. Entonces$B\subset (A\setminus B)\cup B$.

$A\setminus B$no puede ser finito ya que A es infinito ...

Además, no hace uso de ninguno de los elementos anteriores en el resto de su argumento, entonces, ¿por qué los mencionó? Lo único que usaste fue eso$A$ es infinito, que es una hipótesis del teorema.

Si $a\in A\setminus B$ luego $a\in B^\complement$ luego $B^\complement$ es infinito, lo cual es una contradicción ya que $B$ es finito.

Supongo que estás mostrando eso $A\setminus B \subseteq B^\complement$, lo que de hecho implicaría $B^\complement$es infinito (asumiendo que ya se ha demostrado que una clase con una subclase infinita es infinita en sí misma). Pero$B^\complement$ ser infinito no contradice de ninguna manera $B$siendo finito. De hecho, el complemento de cada conjunto finito es infinito. Los complementos de conjuntos no son conjuntos según la teoría de conjuntos de Pinter. Son clases adecuadas y las clases adecuadas son siempre infinitas.


Si desea utilizar el ejercicio 1 para probar esto, se necesita una prueba por contradicción. Pero lo que intentas demostrar es "$A\setminus B$ es infinito ", por lo que la suposición que debe hacer es la opuesta:"$A\setminus B$ es finito ". Cuando llegas a una contradicción, significa que la suposición que te llevó a ella es falsa, y si"$A\setminus B$ es finito "es falso, entonces su opuesto"$A\setminus B$ es infinito "será verdad.

Entonces tienes las hipótesis del teorema:

  • $A$ es infinito.
  • $B$ es finito.

Y la suposición que está tratando de refutar:

  • $A\setminus B$ es finito.

También tienes el teorema ya probado:

  • Si $C$ y $D$ son ambos finitos, entonces también lo es $C\cup D$.

¿Puedes ver cómo combinarlos para llegar a una contradicción?