¿Puede un modelo estándar de $\sf ZFC$ contener todos los ordinales sin ser transitivo?
Por modelo estándar de ZFC me refiero a un modelo de ZFC que puede ser un conjunto o una clase propia y cuya relación de elemento es la verdadera relación de elemento. Un modelo transitivo de ZFC es un modelo estándar de ZFC que también es una clase transitiva. Según el lema del colapso de Mostowski, cada modelo estándar de ZFC es isomorfo, a través de un isomorfismo único, a un modelo transitivo único de ZFC. Mi pregunta es, ¿se puede siempre "deshacer" un modelo transitivo de ZFC en un modelo estándar pero no transitivo de ZFC? Por ejemplo, ¿existe un modelo estándar no transitivo de ZFC isomorfo al modelo interno mínimo?$L$? Y también, ¿existe un modelo estándar no transitivo de ZFC que contiene todos los ordinales que es isomorfo al modelo interno mínimo?$L$?
Editar: Dados los comentarios útiles hechos (la respuesta a las dos primeras preguntas es sí), la única pregunta que me queda es la última: ¿Existe un modelo estándar no transitivo de ZFC que contenga todos los ordinales que sea isomorfo al interior mínimo? modelo $L$? Si no entonces$L$no es solo el modelo interno mínimo, es el modelo estándar mínimo que contiene todos los ordinales. De manera más general, ¿existe un modelo estándar no transitivo de ZFC que contenga todos los ordinales?
Respuestas
Eliminé mi respuesta anterior porque estaba mal, como señaló Rodrigo Freire en los comentarios.
De hecho, es posible tener un modelo no transitivo cuyos ordinales sean un segmento inicial de los ordinales. Dilo$M$ es un modelo transitivo tal que $M\neq V_\alpha$ para cualquier $\alpha\in\rm Ord\cup\{Ord\}$ (dónde $V_{\rm Ord}$es solo el universo entero). Entonces hay un menor$\alpha$ tal $\alpha\in M$ y $\mathcal P(\alpha)^M\neq\mathcal P(\alpha)$.
Definir $N$ para ser el modelo obtenido reemplazando recursivamente $\mathcal P(\alpha)^M$ por $\mathcal P(\alpha)$, o incluso simplemente agregando un nuevo conjunto a esta colección. Luego$N$ es un modelo estándar, sus ordinales son un segmento inicial de los ordinales, pero no es transitivo.
Si tomamos $M=L$ y $V\neq L$, entonces, por supuesto, podemos obtener un modelo de $V=L$ lo cual no es $L$.
Asaf Karagila ha respondido a la pregunta, pero he estado pensando en resultados parciales para la minimidad de $L$ en la dirección de su respuesta anterior, como preguntó Jesse Elliot en su párrafo final.
Primero, discúlpeme por decir que creo que la teoría de conjuntos no ha usado mucho modelos estándar (en el sentido de esta pregunta) porque son isomórficos a los modelos transitivos. Entonces, no estamos muy acostumbrados a ellos. Sin embargo, de hecho, es fácil "deshacer" un modelo transitivo$M$: tomar un elemento $a\in M$ y reemplazarlo en todas partes de manera transitiva por $a\cup \left\{a\right\}$. Si$a$ no es un ordinal, entonces el modelo estándar resultante compartirá los ordinales de $M$.
Ahora, en una dirección más positiva, investiguemos un resultado de mínimaidad parcial para $L$:
-Dejar $M\subseteq L$ser un modelo estándar tal que sus ordinales sean los ordinales reales. Luego$M=L$ si el orden constructible $Od$ (ver Shoenfield, ML, página 272) es absoluto para $L^M$.
prueba: Primero observe que$L^M=\left\{x\in M : (x\in L)^M\right\}$es un modelo estándar cuyos ordinales son los ordinales reales. Si$L^M$ fueran transitivos, entonces incluiría $L$, por lo tanto $M$ sería igual a $L$. Entonces, supongamos que$L^M$ no es transitivo.
Dejar $K$ ser el colapso transitivo de $L^M$. La imagen de$K$ es un modelo transitivo de $ZF$ que contiene todos los ordinales y en $L$, así es $L$. Dejar$x$ ser un contraejemplo mínimo de la transitividad de $L^M$. Luego$K(x)\neq x$, entonces $Od(K(x))\neq Od(x)$ (recordar que $M\subseteq L$, por lo tanto $Od$ se define para todos los elementos de $M$y es inyectable). Ya que$K$ es un isomorfismo de $L^M$ a $L$, $K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))$. De la hipótesis del absolutismo,$Od^{L^M}(x)=Od(x)$.
Por lo tanto,
$K(Od(x))=K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))\neq Od(x)$,
entonces $Od(x)$ es un ordinal que se mueve por $K$. Esto es una contradicción con la hipótesis de que los ordinales de$M$ son exactamente los ordinales.