¿Pueden los sistemas inconsistentes ser matemáticamente interesantes / útiles?
Según la respuesta principal a esta pregunta:
Al hacer matemáticas a menudo tenemos una idea de un objeto que deseamos representar formalmente, esta es una noción . Luego escribimos axiomas para describir esta noción y tratamos de ver si estos axiomas son contradictorios en sí mismos. Si no lo son (o si no pudimos probar que lo son) comenzamos a trabajar con ellos y se convierten en una definición . Los matemáticos se guían por la noción pero trabajan con la definición. Rara vez la noción y la definición coinciden, y tienes un objeto matemático que es exactamente lo que nuestra intuición [de los matemáticos] nos dice que debería ser.
Formalizar nuestras intuiciones matemáticas parece ser un asunto complicado, especialmente porque nuestras intuiciones a menudo son contradictorias en sí mismas, lo que conduce a todo tipo de paradojas verídicas desconcertantes. Además, Gödel ha demostrado que no se puede hacer de una manera que es a la vez coherente y completa, así que cuando nos hacemos encontrar una formalización no contradictoria, tenemos que sacrificar la integridad.
Pero, ¿y si renunciamos a la coherencia? Los sistemas inconsistentes en lugar de los consistentes podrían permitirnos formalizar nuestras intuiciones (a menudo inconsistentes) de manera más realista, aunque también menos útil.
Desafortunadamente, el principio de explosión parece implicar que tal sistema carece básicamente de sentido, ya que cada declaración sería tanto verdadera como falsa. Sin embargo, puede haber alguna forma de evitar esto. Por ejemplo, podríamos restringir las reglas de inferencia lógica de una manera que evite el principio de explosión. O podríamos restringir todas las pruebas por debajo de cierta longitud (correspondiente al número limitado de pasos intuitivos que una persona puede mantener en la cabeza al mismo tiempo).
¿Se ha intentado esto antes? ¿Podría ser esclarecedor / útil como modelo de intuición matemática humana?
NOTA: Desde un punto de vista filosófico más que matemático, muchas religiones / sistemas de pensamiento están felices de sacrificar la coherencia para adaptarse a las contradicciones inherentes dentro de la intuición humana. El budismo zen es probablemente el ejemplo más conocido, y el taoísmo hace algo similar, aunque menos extremo. También estaba leyendo el libro de GK Chesterton "Ortodoxia" en el que describe su sistema de creencias (es cristiano), y afirma que la total adhesión a la lógica y la razón conduce a la locura y consecuencias absurdas, y no capta la riqueza de la contradicción en pensamiento y realidad.
Respuestas
Sí, de hecho se han investigado estos sistemas; los términos clave incluyen "lógica paraconsistente" y "lógica de relevancia". Re: sources, Chris Mortensen ha escrito un artículo de resumen y un libro sobre el tema, aunque este último tiene algunos problemas (ver aquí ).
Otro término importante aquí es "dialeísmo". De manera muy aproximada, las lógicas paraconsistentes, etc. son tolerantes a las paradojas en el sentido de que para una teoría en tal lógica, una mera inconsistencia no implica trivialidad. El dialeísmo es la postura filosófica de que existen verdaderas contradicciones. Graham Priest ha escrito mucho sobre el tema (ver, por ejemplo, aquí ).
Dicho esto, no soy consciente de ningún intento plausible de eludir el primer teorema de incompletitud de esta manera: no conozco candidatos naturales para una teoría en una lógica paraconsistente que sea computablemente axiomatizable, contenga $\mathsf{Q}$como subteoría (digamos), es completa y plausiblemente no trivial. Sin embargo, podemos sortear el segundo teorema de incompletitud en un sentido débil: el libro de Mortensen analiza una aritmética de relevancia particular que contiene elementos clásicos de primer orden$\mathsf{PA}$ pero cuya no trivialidad es $\mathsf{PA}$-demostrable. (Dado que la no trivialidad no implica consistencia en este contexto, esto en realidad no viola el segundo teorema de incompletitud). Otra aplicación notable es la capacidad de la lógica paraconsistente para dar sentido a la teoría de conjuntos ingenua; ver, por ejemplo, aquí .