¿Puedo usar una variable exógena de mi modelo como variable instrumental?

Question

¿Puedo utilizar una variable exógena especificada en mi modelo como instrumento para una endógena?

Se puede razonar que existe una relación entre los dos.

Mi conjetura es esta:

• Dado que la variable exógena está incluida en el modelo, se contabiliza su efecto sobre la variable dependiente y, por lo tanto, no estará contenida en el término de error. Esto satisface el requisito de exogeneidad para instrumentos válidos.

¿Es esto correcto y se puede hacer?

Answer 1

Eso no funcionaría.

Digamos que los regresores son $x_1$ y $x_2$. $x_1$ es endógeno, y $x_2$es control exógeno. Estás interesado en la inferencia causal para$x_1$. Lo que propones es instrumentar$x_1$ con $z = x_2$.

El procedimiento 2SLS propuesto es entonces el siguiente. En la primera etapa, retrocederías$x_1$ en $z$ y $x_2$ Llegar $\hat{x}_1$ y retroceder $x_2$ en $z$ y $x_2$ Llegar $\hat{x}_2 = x_2$.

En este caso, la regresión de $x_1$ en $z$ y $x_2$ sería trivialmente multicolineal, y $\hat{x}_1$ se da simplemente retrocediendo $x_1$ en $x_2$---es decir $\hat{x}_1$ es un múltiplo escalar $x_2$.

Entonces, la regresión de la segunda etapa, donde normalmente retrocede $y$ en $\hat{x}_1$ y $\hat{x}_2$, es de nuevo trivialmente multicolineal. Estarías retrocediendo$y$ solo en $x_2$---Usted ha perdido $x_1$, el regresor que le interesa, por completo.

Empíricamente hablando, una variable no puede servir como control y como instrumento.

Un instrumento $z$ canaliza su variación exógena a través de su correlación con $x_1$(tenga en cuenta que esta declaración contiene ambas condiciones para un instrumento válido). Ahora si tienes un control$x_2$ en la regresión, entonces $z$ debe tener alguna variación residual después de controlar por $x_2$. Obviamente,$x_2$ no tiene variación después de controlar por $x_2$. Este es el problema.

(Aún más informalmente, lo que está proponiendo sería una solución universal para encontrar instrumentos. Claramente ese no puede ser el caso).

Answer 2

Digamos que tu modelo es $y=\beta_0+\beta_1x_1+\dots+\beta_kx_k+u$. Si$\text{Cov}(x_j,u)=0$ por $j=1,\dots,k-1$, pero $\text{Cov}(x_k,u)\ne 0$, puedes reemplazar $x_k$ con otra variable $z_1$ Si:

• $z_1$ es exógena, por lo tanto $\text{Cov}(z,u)=0$;
• $z_1$está parcialmente correlacionado con$x_k$, una vez que las otras variables exógenas $x_1,\dots,x_{k-1}$ han sido compensados, es decir, en $$x_k=\delta_0+\delta_1x_1+\dots+\delta_{k-1}x_{k-1}+\theta_1 z_1+r$$ el coeficiente de $z_1$es distinto de cero (Jeffrey M. Wooldridge, Análisis econométrico de datos de panel y sección transversal , MIT Press, 2010, págs. 89-90).

No puede probar la primera condición, pero puede y debe probar la segunda condición (Wooldridge, p. 92).