¿Qué celosías completas son isomorfas a un producto de celosías irreductibles?
Dada cualquier familia de latices completos $\{\mathcal{L}_i\}_{i\in I}$ st para todos $i\in I$ nosotros denotamos $\mathcal{L}_i=(X_i,\leq_i,\wedge^i,\lor^i)$ y $X=\prod_{i\in I}X_i$ nota que podemos definir una celosía completa $\mathcal{L}=\prod_{i\in I}\mathcal{L}_i$ (llámalo su producto) en $X$ S t $\mathcal{L}=(X,\leq,\wedge,\lor)$, definido para $a,b\in X$ como sigue: $a\leq b\iff \forall i\in I(\pi_i(a)\leq_i\pi_i(b))$ También si $S\subseteq X$ luego $\small\bigwedge_{f\in S}f=\{(i,\bigwedge^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ y $\small\bigvee_{f\in S}f=\{(i,\bigvee^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ además, llamamos trivial a cualquier celosía con un elemento y decimos celosía completa $\mathfrak{L}$ es irreductible si no existe una familia de dos o más celosías completas no triviales $\{\mathfrak{L}_{i}\}_{i\in I}$ S t $\mathfrak{L}\cong \prod_{i\in I}\mathfrak{L}_i$. Ahora, dicho todo esto, mi pregunta es ¿cuándo son las celosías completas isomorfas a un producto de las celosías irreductibles? Por ejemplo, ¿existen criterios "elementales" o "útiles" para determinar esto? ¿Cuáles son ejemplos de celosías completas que no son isomorfas a ningún producto de celosías irreductibles? ¿Alguien podría darme algunos de estos?
Obviamente, cualquier retículo completo finito es isomorfo a un producto de retículos irreductibles, ya que si el retículo en sí mismo es irreductible, de lo contrario, podemos factorizar esto en dos retículos que son subredes del padre y, por lo tanto, pueden expresarse como retículos en conjuntos cada vez más pequeños que el conjunto de padres, por lo tanto, repetir este proceso una y otra vez eventualmente nos proporcionará una familia de celosías irreductibles cuyo producto es igual a nuestro padre (este proceso debe terminar porque cada una de estas celosías estará en conjuntos de menor tamaño y, por definición, cualquier celosía trivial es irreducible por lo que si reducimos cualquier enrejado a un conjunto en un elemento, habremos terminado).
Además si alguna celosía completa $L_1\cong L_2\times L_3$no es isomorfo a un producto de celosías irreductibles, entonces$L_2$ o $L_3$no son isomorfos a un producto de celosías irreducibles, por lo tanto, al aplicar el proceso anterior, vemos que cualquier celosía no isomorfa a un producto de celosías irreductibles debe contener un número infinito de subredes que tampoco sean isomorfas a un producto de celosías irreducibles.
Respuestas
Para las celosías distributivas , existe una forma bastante sencilla de entender estas preguntas. Es decir, tenga en cuenta que si$L=A\times B$ es un producto de dos celosías, los elementos $(1,0)$ y $(0,1)$ son complementos entre sí (su unión es $1$ y su encuentro es $0$). Por el contrario, si$L$ es una red distributiva y $a,b\in L$ son complementos entre sí, entonces $L\cong A\times B$ dónde $A=\{x\in L:x\leq a\}$ y $B=\{x\in L:x\leq b\}$. De hecho, existe un mapa que conserva el orden$f:L\to A\times B$ cartografía $x$ a $(x\wedge a,x\wedge b)$ y el mapa $A\times B\to L$ enviando $(x,y)$ a $x\vee y$ es inverso a $f$ ya que $L$ es distributivo.
Entonces, una red distributiva es irreducible si no tiene elementos complementados no triviales. El conjunto de elementos complementados en cualquier retícula distributiva.$L$ forma un álgebra booleana que llamaré $B(L)$. Además, si una red distributiva$L$ es un producto $\prod_{i\in I} L_i$, luego $B(L)= \prod_{i\in I} B(L_i)$.
En particular, si $L$ es un producto de celosías (no triviales) irreductibles $\prod_{i\in I} L_i$, luego $B(L)=\prod_{i\in I}B(L_i)\cong \mathcal{P}(I)$, desde cada uno $B(L_i)$ es solo el enrejado de dos elementos $\{0,1\}$. Además,$L_i\cong\{x\in L:x\leq e_i\}$ dónde $e_i\in L$ es $1$ sobre el $i$th coordenada y $0$ sobre los demás, y estos elementos $e_i$ son solo los átomos del álgebra de Boole $B(L)$. Con esta identificación, la proyección$L\to L_i$ es solo el mapa $x\mapsto x\wedge e_i$.
Por tanto, concluimos que una red distributiva $L$ es isomorfo a un producto de celosías irreductibles si el mapa $f:L\to\prod_{i\in I}L_i$ es un isomorfismo, donde $I$ es el conjunto de átomos de $B(L)$, $L_i=\{x\in L:x\leq i\}$, y el $i$th coordenada de $f$ es el mapa $x\mapsto x\wedge i$. Si$L$ está completo, estos $L_i$automáticamente también estará completo. En particular, una condición necesaria para$L$ ser isomorfo a un producto de celosías irreductibles es para $B(L)$ ser isomorfo a un álgebra booleana de potencias.
Entonces, por ejemplo, si $L$ es un álgebra booleana completa que no es isomórfica a un conjunto de potencias, entonces $L$no es producto de celosías irreductibles. Para un ejemplo explícito,$L$ podría ser el enrejado de subconjuntos abiertos regulares de $\mathbb{R}$, o la red de subconjuntos de Borel de $\mathbb{R}$ conjuntos de módulos de medida de Lebesgue $0$. Para un tipo diferente de ejemplo,$L$podría ser la celosía de subconjuntos abiertos del conjunto de Cantor. Luego$B(L)$ es el álgebra booleana de subconjuntos abiertos del conjunto de Cantor, que no tiene átomos (y de hecho ni siquiera está completo).
Por un ejemplo donde $B(L)$ es un conjunto de poder pero $L$ todavía no es un producto de celosías irreductibles, podría tomar $L$ ser el enrejado de subconjuntos abiertos de $\beta\mathbb{N}$. Luego$B(L)\cong\mathcal{P}(\mathbb{N})$, pero sus átomos son los singletons $\{n\}$ para $n\in\mathbb{N}$ entonces el mapa $L\to\prod_{i\in I}L_i$ como se describe arriba es el mapa $L\to\mathcal{P}(\mathbb{N})$ enviando un subconjunto abierto de $\beta\mathbb{N}$ a su intersección con $\mathbb{N}$, que no es inyectable.