¿Qué se necesita para demostrar que el espacio tangente en una variedad es un espacio vectorial? [duplicar]

Jan 09 2021

Actualmente estoy trabajando con la definición de vectores tangentes como clases de equivalencia de curvas. Entonces$v =[\gamma]$ y $w=[\sigma]$ dónde $v,w$son los vectores. Quiero probar que la suma de estas dos clases de equivalencia es también una clase de equivalencia para darle la estructura del espacio vectorial. Definimos la suma como:

$v+w= [\phi^{-1} \circ (\phi \circ \gamma + \phi \circ \sigma)]$

dónde $\phi$es un gráfico. Entiendo que las curvas no se pueden agregar cuando pertenecen a la variedad, es por eso que primero mapeamos y luego en los reales donde se puede realizar. Entonces, ahora que la suma está definida, ¿cómo puedo probar que es otra clase en el punto$p$ en $M$. ¿Es suficiente asegurarse de que el mapa pase$p$? Las mismas preguntas se aplican a la multiplicación por escalar. Gracias

Respuestas

2 peek-a-boo Jan 09 2021 at 00:20

Después de leer su publicación con más atención, aquí hay un resumen de una oración de su error: está tratando de sumar (y multiplicar escalar) las curvas en$\Bbb{R}^n$, en lugar de sus velocidades. Como observó, sumar las curvas estropea las cosas con los puntos base.


Como conjunto, tenemos $T_pM$ es el conjunto de clases de equivalencia de curvas suaves, $[\gamma]$, dónde $\gamma$ se define en algún intervalo abierto que contiene $0$ tal que $\gamma(0)=p$. Ahora, para cualquier gráfico$(U,\phi)$ sobre el punto $p$, considera la función $F_{\phi,p}:T_pM \to \Bbb{R}^n$ definido como \begin{align} F_{\phi,p}([\gamma]):= (\phi\circ \gamma)'(0). \end{align}Esta función está bien definida debido a cómo se define la relación de equivalencia. Note el significado intuitivo:$\gamma$ es una curva con valores en la variedad $M$, entonces si usamos un gráfico, podemos obtener una curva correspondiente $\phi\circ \gamma$ con valores en el espacio de Banach (es decir, un espacio vectorial normalizado) $\Bbb{R}^n$, y sabemos cómo funciona el cálculo en la configuración de espacios vectoriales. Entonces, todo este mapa$F_{\phi,p}$ hace es que toma una curva $[\gamma]$ y lo asigna al "vector de velocidad" $(\phi\circ \gamma)'(0)$. Espero que esto sea intuitivo (de lo contrario, solo dibuja algunas imágenes para ver dónde está cada objeto).

Ahora, también es fácil verificar que $F_{\phi,p}$es una función biyectiva; Te dejo a ti verificar que$G_{\phi,p}:\Bbb{R}^n\to T_pM$ definido como \begin{align} G_{\phi,p}(v):= [t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)] \end{align}es la función inversa. En palabras, lo que estamos haciendo es tomar un vector$v\in\Bbb{R}^n$, y considerando la línea recta $t\mapsto \phi(p)+tv$. Esta es una curva basada en el punto$\phi(p)$, en la dirección $v$. Ya que$\phi$ es un homeomorfismo, se sigue que para valores suficientemente pequeños de $t$, tenemos $\phi(p)+tv\in \phi(U)=\text{domain}(\phi^{-1})$, por lo tanto, podemos considerar la clase de equivalencia de la curva $t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)$.


Entonces, ¿qué ha producido toda esta notación adicional? Bueno, tenemos una función biyectiva$F_{\phi,p}:T_pM\to \Bbb{R}^n$, y por supuesto, $\Bbb{R}^n$ es un espacio vectorial, por lo que mediante el álgebra lineal básica, podemos "retirar" la estructura del espacio vectorial de $\Bbb{R}^n$ para hacer $F_{\phi,p}$un isomorfismo lineal. Explícitamente, lo que quiero decir es que podemos definir la suma y la multiplicación escalar$+_{\phi}$ y $\cdot_{\phi}$ (Pongo el subíndice porque todo depende del gráfico hasta ahora) de la siguiente manera: \begin{align} \begin{cases} [\gamma_1]+_{\phi} [\gamma_2]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(F_{\phi,p}([\gamma_1])+ F_{\phi,p}([\gamma_2])\bigg)\\ c\cdot_{\phi}[\gamma]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(c\cdot F_{\phi,p}([\gamma])\bigg) \end{cases} \end{align}

Si desenrolla todas las definiciones, entonces \begin{align} c\cdot_{\phi}[\gamma_1]+_{\cdot}[\gamma_2]= [t\mapsto \phi^{-1}\left(\phi(p) + t(c\cdot (\phi\circ \gamma_1)'(0)+(\phi\circ \gamma_2)'(0))\right)] \end{align} Con suerte, la idea es lo suficientemente clara: tienes una biyección, así que simplemente empujas todo hacia adelante, haces los cálculos en $\Bbb{R}^n$, luego devuelve todo a $T_pM$, y así se define la suma y la multiplicación escalar. Te dejo que todos los axiomas del espacio vectorial estén satisfechos y que$F_{\phi,p}$ es un isomorfismo lineal, etc.

Una última cosa a tener en cuenta es que hasta ahora la suma y la multiplicación escalar se han definido utilizando una tabla en particular. $(U,\phi)$, pero en realidad, es un ejercicio de regla de cadena simple para verificar que si tiene un gráfico diferente $(V,\psi)$, entonces $+_{\phi}=+_{\psi}$ y $\cdot_{\phi}=\cdot_{\psi}$, por lo que la estructura del espacio vectorial en $T_pM$ es en realidad independiente de la gráfica, por lo que simplemente lo denotamos como $+$ y $\cdot$como siempre. Te dejo a ti desenrollar las definiciones, usar la regla de la cadena, etc. para verificar esto. Si tiene problemas, hágamelo saber, tal vez pueda dar más detalles.