Referencia solicitada para el teorema de la teoría de homotopía

Question

Me encontré con esta publicación: Grupos de homotopía de variedad topológica compacta que establece exactamente el resultado que necesito para un teorema en el que estoy trabajando. Sin embargo, necesitaría una referencia, ya que el público no necesita estar muy versado en la teoría de la homotopía.

¿Alguien podría sugerir dónde puedo encontrar el resultado?

Teorema: Todo cerrado, conectado suave$d$-colector $M$ tiene un mapa continuo y no nulo homotópico $f: S^{d'} \rightarrow M$ para alguna esfera $S^{d'}$ con $1 \leq d' \leq \dim(M)$.

En otras palabras, si $M$ es un colector liso cerrado y conectado, entonces hay un no trivial $\pi_{d'}(M)$ para algunos $d'\leq \dim(M)$.

Answer 1

Esto no es una referencia sino una breve prueba:

si no, entonces con $d'=1$ vemos eso $M$ tendría que estar simplemente conectado.

En particular, si todos sus grupos de homología desaparecen, entonces $M$es contráctil. Pero los grupos de homología en dimensión$> \dim(M)$ siempre desaparecen, y la hipótesis implica (por Hurewicz) que los grupos de homología en dimensión $\leq \dim(M)$ desaparecer también.

Esto implica que $M$ es contractible, lo cual es imposible por la dualidad de Poincaré (ya sea mod $2$, o integralmente porque $M$ está simplemente conectado)

En pocas palabras: $M$ es mod $2$-orientable, por lo que debe tener un mod no trivial $2$-cohomología, esto debe estar en dimensión $\leq \dim(M)$, pero la hipótesis implica que no es así, según el teorema de Hurewciz.