Regla de la cadena derivada covariante de orden superior

Question

Dejar $(M,g)$ser una variedad riemanniana. Dejar$\nabla_v$ ser la derivada covariante en el $v$ dirección para todos $v\in T_xM$y denotar con $\nabla^k h$ la $(k,0)$-campo de tensión definido en coordenadas locales inductivamente por $$ \nabla^0h=dh,\quad(\nabla^kh)_{i_1,\dots,i_k}=(\nabla_{\partial_{i_1}}h)_{i_2,\dots,i_k}. $$ para cualquier función suave $h$.

Mi pregunta es: ¿hay una buena manera de expresar la diferencia? $\nabla\nabla_udh-\nabla_u\nabla dh$?

Para evitar confusiones, estoy considerando la expresión dada por $$ \nabla(\nabla_udh)(X,Y)-\nabla_u(\nabla dh)(X,Y)=\nabla_X(\underbrace{\nabla_udh}_{(1,0) -tensor\,field})(Y)-\nabla_u(\underbrace{\nabla dh}_{(2,0)-tensor\,field})(X,Y). $$Esto parece de alguna manera similar al tensor de curvatura de Riemann aplicado a las formas. He tratado de desarrollar la diferencia, pero no veo nada familiar. De manera más general (pero quizás estoy pidiendo demasiado), ¿hay alguna forma agradable de escribir$$ \nabla^k\nabla_udh-\nabla_u\nabla^kdh=? $$

Answer 1

Escribir $\nabla_u dh = c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)$, dónde $c^1_1$ es la contracción, entonces

\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) &= \nabla(c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)) \\ &=c^1_1 \nabla (u\otimes \nabla dh) \\ &= c^1_1( \nabla u \otimes \nabla dh + u \otimes \nabla \nabla dh) \end{align}

En particular, significa para todos $X, Y$y usando la identidad de Ricci ,

\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) (X, Y) &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_X \nabla_u dh (Y)\\ &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_u \nabla_X dh (Y) + R(u, X)dh (Y) \end{align}

así

$$\big( \nabla (\nabla_u dh ) - \nabla_u \nabla dh \big)(X, Y) = (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ R(u, X)dh (Y).$$

así que como se esperaba, salen los términos de curvatura. Tambien tenemos$\nabla u$. En general, al calcular$$ \nabla^k \nabla_u dh- \nabla _u \nabla^k dh,$$ tienes que diferenciar $u$ $k$-veces y usa la identidad de Ricci $k$-veces. Supongo que no habrá una buena fórmula.