Representaciones integrales indecomponibles de un grupo de orden 2 "a mano"
Esta pregunta es un duplicado de la pregunta de MO de 2010 .
Estoy interesado en clasificar clases de isomorfismo de $n$-representaciones integrales dimensionales del grupo cíclico $C_2$ de orden $2$. Claramente, cualquier representación integral de$C_2$es una suma directa de representaciones integrales indecomponibles .
El siguiente resultado es bien conocido:
Teorema. El grupo$C_2$ tiene exactamente 3 clases de isomorfismos de representaciones integrales indecomponibles:
(1) trivial;
(2) la representación del signo;
(3) la representación bidimensional con matriz $\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right).$
Este resultado fue declarado en la respuesta de Victor Protsak . Vea también la respuesta de Todd Leason .
En su comentario Victor Protsak da una referencia. Escribe: "Curtis y Reiner, Capítulo 11. Es un caso especial de un teorema en la Sección 74 que clasifica las representaciones integrales de grupos cíclicos de primer orden. Naturalmente, este caso es mucho más fácil y se puede hacer a mano".
Pregunta. ¿Cómo probar el teorema anterior "a mano", sin referencia al libro de Curtis y Reiner?
Motivación: ahora estoy trabajando con algebraico$\mathbb R$-tori. Están clasificados por representaciones integrales del grupo Galois${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$, que es un grupo de orden $2$. Para comprender la conocida clasificación de los materiales indecomponibles$\mathbb R$-tori, necesito entender la conocida clasificación de representaciones integrales indecomponibles de ${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$.
Hice esta pregunta aparentemente elemental en Mathematics StackExchange , pero no obtuve respuestas ni comentarios, así que la hago aquí.
Respuestas
En Computación con toros reales , Casselman tiene una buena descripción de este teorema desde el punto de vista de no solo demostrar que estos son los únicos toros indecomponibles, sino, suponiendo que se le dé una representación integral explícita de$\operatorname C_2$, encontrando / calculando explícitamente su descomposición en estas tres representaciones.
De hecho, si usted (usted el lector general, no necesariamente @MikhailBorovoi) no está familiarizado con el trabajo reciente de Bill Casselman, vale la pena visitar su página. http://www.math.ubc.ca/~cass; ha estado muy interesado durante un tiempo en hacer cálculos reales, en el sentido de cosas que pueden introducirse en una computadora, relacionadas con grupos algebraicos. Lo anterior es un ejemplo; otros se pueden encontrar enhttp://www.math.ubc.ca/~cass/research/publications.html, Incluyendo, por ejemplo, el cálculo de constantes de estructura según Jacques Tits , cosas que todos conocemos puede hacer, pero que la mayoría de nosotros (al menos yo!) Se reduciría de hecho haciendo , aquí presenta de una manera que demuestra cómo para llevarlo a cabo de forma práctica.
(¡También hay algunas cosas interesantes sobre gráficos matemáticos !)