Resolver para la base de un triángulo isósceles

Question

El área de un triángulo isósceles es $S$ y el ángulo entre las medianas y las piernas, mirando hacia la base, es $\alpha$. Encuentra la base del triángulo.

$2\sqrt{\dfrac{S\tan\dfrac{\alpha}{2}}{3}}.$

Dejar $CH$ser la tercera mediana del triángulo. El punto$M$ Miente en $CH$ porque el triángulo es isósceles, entonces en $\triangle ABM,$ $MH$es una mediana y una altitud, por lo que es un triángulo isósceles. Luego$\measuredangle AMH=\measuredangle BMH=\dfrac{\alpha}{2}.$He estudiado solo funciones trigonométricas de un ángulo agudo. ¿Podrías darme una pista?

Answer 1

El centroide divide la mediana en la relación $2:1$ donde el $2$ es el lado del ángulo del que proviene y $1$es el lado del centroide donde la mediana se encuentra con el lado. Lo que hace$CM:MH=2:1 \implies MH= \dfrac13 CH \implies CH = 3 MH$.
En$\triangle AHM$ tienes $\dfrac{AH}{MH}=\tan\left( \dfrac{\alpha}2 \right) $, $AB=2AH$ y la fórmula de altura base para $S$.

Answer 2

Insinuación: $MH = \frac1{3}CH$ entonces $AH/MH =\frac{3AB}{2CH}$. Ahora usa la fórmula estándar para el área y compárala con esta ecuación. Estoy seguro de que encontrará la respuesta.