Resolver recursividad por analogía con una ecuación diferencial
Me encontré con este problema:
Deja secuencia $u_n$ ser definido por su primer término $u_0 > 0$ y $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$$ Encuentre una fórmula asintótica para $u_n$.
Pensé que podríamos resolverlo por analogía con la ecuación $$f' = \frac{1}{f}$$ que da la fórmula asintótica $u_n \sim \sqrt{2 n}$, y esta es de hecho la respuesta correcta.
De manera más general, tomamos $u_0 > 0, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + f(u_n)$, ¿cuáles serían las condiciones en una función continua, positiva y decreciente? $f$ tal que el método de analogía con una ecuación diferencial dé la fórmula asintótica correcta?
Muchas gracias !
Respuestas
Como se indica en el comentario a continuación, esta respuesta es incorrecta.
Suponer que $y$ es una solución a la ecuación diferencial $y' = f(y)$y $u_n$ resuelve la recurrencia $u_{n+1} = u_n + f(u_n)$ con $u_0 = y(0)$. Por el teorema del valor medio, encontramos que para todos$n$, existe un $c \in [n,n+1]$ para cual $y(n+1) - y(n) = y'(c).$ Porque $f$ está disminuyendo, tenemos $$ f(y(n)) = y'(n) \geq y(n+1) - y(n) \geq y'(n+1) = f(y(n+1)). $$ Ahora, suponga que $w_n$ satisface $w_{n+1} = w_n + f(w_n)$y $w_0 = y(1)$. Encontramos inductivamente que$u_n \leq y(n) \leq w_n$. En particular, pensamos que si la desigualdad se cumple para$n = k$, luego $$ \begin{align} w_{k+1} &= w_k + f(w_k) \geq y(k) + f(w_k) \geq y(k) + f(y(k)) \\ & \geq y(k) + [y(k+1) - y(k)] = y(k+1), \end{align} $$ y la desigualdad $y(k+1) \geq u_{k+1}$ se puede ver de manera similar.
Con eso, podemos concluir lo siguiente: si $f$ es tal que la recurrencia $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ tiene las mismas asintóticas para todos $u_0 > 0$, entonces se deduce que las asintóticas de la secuencia $(y(n))_{n \in \Bbb N}$ generado a partir de una solución para $y' = f(y)$ con $y(0) > 0$ son lo mismo.