Restricciones bajo las cuales$\rho(x, y) = |x - y|^d$satisface la desigualdad triangular

Question

¿Es posible demostrar por medios puramente algebraicos (sin recurrir inmediatamente a contraejemplos) que$\rho(x, y) = |x - y|^d$no satisface la desigualdad triangular$\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y)$por$d = 2$? ¿Y bajo qué restricciones sobre$x, y, z$satisface la desigualdad? Estoy tratando de ver por qué$\rho$no puede ser una métrica válida en$\mathbb R$.

Pregunta adicional: ¿Para qué otros valores$d \in \mathbb R$lo hace$\rho$no satisface la desigualdad triangular.

Answer 1

La desigualdad es equivalente a$(a+b)^{d} \leq a^{d}+b^{d}$por$a, b \geq 0$. Poniendo$a=b=1$vemos eso$2^{d} \leq 2$. Por eso$d \leq 1$es una condición necesaria. Para cualquier$d \in (0,1]$la desigualdad es válida. Esto se puede probar observando que$(a+b)^{d}-a^{d}-b^{d}$es función decreciente de$a$y desaparece cuando$a=0$.

Cuando$d<0$,$|x-y|^{d}$ni siquiera está definido cuando$x=y$por lo que no produce una métrica.$d=0$te queda a ti.