Ruta identidad integral

Question

Estoy leyendo los Métodos de campo de antecedentes en las Conferencias de la EPFL sobre GR como EFT . Los autores utilizan esta identidad en la página 23, ecuación (174):$$ \mathcal{N}^{-1}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}\phi^*\exp\{-i\int\mathrm{d}^4x\,\phi(\square+v(x))\phi^*\} = \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))}\tag{174} $$que es solo una integral gaussiana estándar (ruta). Pero continúan usando esto:$$ \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))} = \mathcal{N}^{-1}\exp\{-\int\mathrm{d}^4x\,\langle x|\text{Tr}\ln(\square+v(x))|x\rangle\} \tag{174}$$que no entiendo del todo. ¿Esto hace uso del$\log \det \mathbf{A} = \text{Tr} \log \mathbf{A}$? Si es así, ¿por qué hay una integral en el$\exp$ - ¿No debería haber una función delta correspondiente para 'cancelarlo'?

Answer 1

1. Sí, OP tiene razón: las conferencias utilizan la integración del camino gaussiano y la identidad$$ \det A~=~e^{{\rm tr}\ln A}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\det A}~=~e^{-{\rm tr}\ln A} \tag{i}$$en eq. (174).

2. A continuación, las conferencias utilizan la relación de completitud. $$\int\mathrm{d}^4x\,|x\rangle \langle x|~=~{\bf 1} \tag{ii}$$ y $$ {\rm tr}[A|x\rangle \langle x|]~=~ \langle x|A|x\rangle\tag{iii} $$en eq. (174).

3. La traza superviviente en el RHS de la última eq. (174) podría ser, por ejemplo, un rastro de sabor e indica que el rastro en eq. (iii) es solo un rastro parcial .

Answer 2

Sí, tiene razón: la identidad de logaritmo determinante se ha utilizado anteriormente. En cuanto al exponencial, se ha utilizado lo siguiente (del libro Field Quantization de Greiner, Reinhardt, capítulo 11, página no. 353):
$ \int {d^D v \exp \big\{ {- \frac{1}{2} v^T A v} \big\}} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}} \exp \big\{ {- \frac {1}{2} Tr ln A} \big\} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}}\big(det A \big)^{-\frac{1}{2}} $

La prueba de lo anterior también se da en el mismo. los$2\pi$Lo más probable es que ya estén absorbidos en la constante acompañante. La expresión dada en su pregunta es (muy probablemente) una integral de acción en el formalismo de Feynman (integral de ruta) y es por eso que el$-i$ existe - el quid del formalismo de Feynman es que la acción se puede escribir como $ \exp \big\{\frac{-i S}{\hbar}\big\} $. ¡Salud!