Secuencias de Følner con formas extrañas
Dejar $G$ser un grupo discreto y finitamente generado. Recordar que$\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$es una secuencia de Følner si$|g F_n \cup F_n|/|F_n| \rightarrow 1$ para cada $g \in G$. Como es bien sabido, la existencia de una secuencia de Følner es equivalente a la susceptibilidad de$G$.
A menudo se dice que las secuencias de Følner tienen formas extrañas . Mi pregunta suave es: ¿qué ejemplos tenemos que respalden esta afirmación? Por supuesto si$G$es de crecimiento subexponencial, entonces una subsecuencia de bolas forma una secuencia de Følner, y esto no tiene una forma extraña . Por lo tanto, más específicamente: ¿qué ejemplos de grupos de crecimiento exponencial conocemos que tienen secuencias de Følner explícitas no hechas de bolas?
Como ejemplos de los ejemplos que estoy pidiendo, la secuencia de Folner en forma de estrella solicita conjuntos de Følner de una determinada forma, mientras que una respuesta de conjuntos y bolas de Folner proporciona secuencias explícitas hechas de rectángulos (en lugar de bolas). Asimismo, el grupo ax + b tiene una secuencia de Følner formada por rectángulos donde un lado es exponencialmente más grande que el otro.
Respuestas
El álgebra es más útil aquí que las imágenes, pero las imágenes son divertidas, así que aquí va. Para fundamentar mi comentario sobre el farolero, representaciones rápidas de una bola típica y un conjunto de faroles Følner. En realidad, no sé cuál de estos es más bonito, pero el conjunto de Følner es en realidad el que se parece más a una pelota.
Las dos imágenes se toman desde diferentes ángulos y, por lo tanto, forman un estereograma, por lo que si miras la imagen más a la izquierda con el ojo derecho y viceversa, tu estereopsis debería activarse. Me parece útil, si no puedes ignorar una de las fotos.
Primero, la bola o el radio $3$con los generadores donde se mueve la cabeza. Cuando la cabeza se mueve hacia la derecha, sube por el diagrama. Estoy usando algunas convenciones, que con suerte se pueden adivinar.
Aquí hay un equipo Følner típico con los mismos generadores.
Esta pregunta fue popular en los años 50 y 60 después de que se probara el teorema de Folner. Se construyeron muchos ejemplos de extraños conjuntos de Folner. Los ejemplos típicos de grupos donde los conjuntos de Folner no son bolas son los grupos de faroles y los productos de guirnaldas de grupos cíclicos infinitos. Para artículos más recientes, consulte Anna Erschler. Sobre perfiles isoperimétricos de grupos generados finitamente. Geom. Dedicata, 100: 157-171, 2003 y las referencias en el mismo.
Una respuesta a su pregunta no blanda es que los siguientes grupos tienen [al menos un] grupo electrógeno en el que se sabe que las bolas no son Folner, pero alguna otra secuencia ("rectangular") es: Baumslag-Solitar solucionable, algunos productos de coronas (incluido el farolero), algunas extensiones de$\mathbb{Z}^d$ por $\mathbb{Z}$ (los dados por una matriz sin valores propios de la norma 1), algunos $ax+b$ grupos y básicamente casi cualquier grupo susceptible de crecimiento exponencial cuya serie de crecimiento sea racional y haya sido calculada (consulte los detalles a continuación).
"Extrañeza" de los conjuntos de Folner: como se menciona en la pregunta, [una subsecuencia de la secuencia de] bolas forman una secuencia de Folner natural en cualquier grupo de crecimiento subexponencial. Ahora bien, como han señalado otros, las bolas (es decir, un conjunto generador finito) son bastante "feas". Esto se puede precisar si se considera el concepto de un conjunto de Folner óptimo:
Dejar $I(n)= \displaystyle \inf_{|A| \leq n} \dfrac{|\partial A|}{|A|}$ (la $\inf$ recorre todos los conjuntos $A$ de tamaño $\leq n$) sea el perfil isoperimétrico. Entonces un set$F$ es óptimo si $I(|F|)=\dfrac{|\partial F|}{|F|}$. En palabras: si un conjunto$E$ no es mayor [cardinalidad] que $F$, entonces es la relación isoperimétrica $\dfrac{|\partial E|}{|E|}$, no supera la relación isoperimétrica de $F$.
Se puede comprobar (utilizando la desigualdad de Loomis-Whitney) que Folner óptimo se establece en $\mathbb{Z}^d$(wrt el grupo generador habitual) son [hiper] cubos (o que tienden a tener una forma rectangular). Ésta es una manera inequívoca de decir que las pelotas son conjuntos de Folner "torpes". En comparación, los conjuntos óptimos no son "extraños" en absoluto (ya que deben estar extremadamente bien elegidos).
Para obtener más información sobre lo extraño, consulte las notas al margen a continuación.
Ejemplos explícitos: A continuación, dado un grupo de crecimiento exponencial, es una cuestión abierta si alguna subsecuencia de la secuencia de bolas es Folner. Di una respuesta parcial que muestra que este no es el caso cuando el grupo [junto con la elección del grupo electrógeno] ha pellizcado el crecimiento exponencial. Esto incluye muchos productos de coronas, grupos de Baumslag-Solitar que se pueden resolver y algunas extensiones de$\mathbb{Z}^d$ por $\mathbb{Z}$ (ver enlace para más detalles).
Todos estos grupos pueden escribirse como productos semidirectos. Si$G$ y $H$ son susceptibles, entonces se puede demostrar que $G \rtimes H$ es susceptible y que los conjuntos de Folner son de la Forma $E_n \times F_n$ (dónde $E_n$ [resp. $F_n$] es una secuencia de Folner de $G$ [resp. $H$]). En ese sentido, los conjuntos de Folner que encontramos (perezosamente, en el sentido de que son producidos por una prueba general) en tales grupos son "rectangulares".
Por lo tanto, los grupos mencionados anteriormente [solucionables Baumslag-Solitar, algunos grupos metabelianos, grupos cuya serie de crecimiento es racional y no tienen dos polos en el radio de convergencia (que incluye muchos productos de corona y $ax+b$-groups)] son una respuesta directa a su segunda pregunta (para algunos grupos electrógenos). Se sabe que las bolas (grupos electrógenos de wrt) no son Folner, pero sí algún conjunto "rectangular" (para ser precisos: podría haber grupos con un solo polo que no sean productos semidirectos o extensiones de grupos susceptibles; para estos grupos [ si se conocen] no hay conjuntos "rectangulares").
Para las extensiones no divididas, Ycor proporcionó una descripción de los conjuntos de Folner. Note que uno podría adaptar el significado de "rectangular" para extensiones no divididas: tomando una preimagen del conjunto de Folner del cociente multiplicado por algún conjunto de Folner del subgrupo.
Así que ahora uno podría pensar que los conjuntos "rectangulares" (y ya no de bolas) son los favoritos. Pero luego también hay grupos simples de crecimiento intermedio, vea esta pregunta . Y (si no es para esos grupos, entonces para otros grupos simples de crecimiento subexponencial) supongo que las bolas son las únicas candidatas que se tienen.
Básicamente, creo que el problema tiene más que ver con cómo construimos grupos receptivos. Siempre usamos las cuatro propiedades de la susceptibilidad (extensión, subgrupo, cociente y límite directo). Entonces, uno comienza con el crecimiento como criterio básico y usa esas cuatro propiedades (posiblemente hay muchas formas de hacerlo). Esto le dará los conjuntos de Folner conocidos para un grupo determinado. Como ejemplo tonto, podría decir que Folner natural se establece en$\mathbb{Z}^3$ son cilindros (bolas en $\mathbb{Z}^2$ veces bolas en $\mathbb{Z}$).
Nota al margen 1: es una pregunta abierta desde hace mucho tiempo para probar cuáles son esos conjuntos en el grupo (continuo) de Heisenberg (aunque la forma conjeturada está bien descrita). Esa fue mi motivación para esta pregunta.
Nota al margen 2: como lo señaló Ycor, dada una secuencia de Folner$F_n$ puedes hacerlo "tan extraño como quieras" considerando una secuencia arbitraria de conjuntos finitos $E_n$ con $\dfrac{|E_n|}{|F_n|} \to 0$. Una de las ventajas de considerar las secuencias de Folner óptimas sería evitar tales configuraciones (la desventaja obvia es que casi no hay grupos donde se conocen las configuraciones óptimas). Una nota adicional es que agregar tal conjunto$E_n$no influye en la medida invariante que se obtiene (para un ultrafiltro fijo). Tenga en cuenta que la traducción de los conjuntos puede afectar a la medida límite.
Nota al margen 3: Aquí hay otro aspecto de la "extrañeza" de los conjuntos de Folner. Considere la secuencia$P_n = [2^n,2^{n+1}]$, $M_n = [-2^{n+1},-2^n]$, así como $A_n = (-1)^n \cdot P_n$ de conjuntos en $\mathbb{Z}$. Entonces considere la función$f(n) = \mathrm{sign}(n)$. La media invariante que uno obtiene de$P_n$ en $f$ es 1 (cualquiera que sea el ultrafiltro que elijas), el que obtienes con $M_n$ es $-1$ (de nuevo, cualquiera que sea el ultrafiltro) y finalmente el que obtienes con $A_n$depende del ultafiltro que elija. Y podrías construir para cualquier número real en$[-1,1]$ una secuencia $R_n$que converge a ese número (independientemente del ultrafiltro). No es demasiado difícil construir una secuencia que pueda, dependiendo del ultrafiltro, converger a cualquier número racional en$[-1,1]$.