Si fórmula $\phi$ prueba una contradicción $\bot$ entonces tenemos $\vdash\phi\to\bot$?
Estoy tratando de enseñarme algo de lógica por medio de "Una introducción amistosa a la lógica matemática" de Leary y Kristiansen.
Se centra en fórmulas en el sentido de que los axiomas no son necesariamente oraciones.
Las reglas de interferencia practicadas en ese libro son PC (consecuencia proposicional) y la regla cuantificadora QR que establece que desde$\psi\to\phi$ podemos deducir $\psi\to\forall x\phi$ Si $x$ no es gratis en $\psi$.
Dejar $\mathcal{L}$ ser un idioma de primer orden, $\bot$ denotar algunos $\mathcal{L}$-enunciado del formulario $\psi\wedge\neg\psi$ y deja $\phi$ frijol $\mathcal{L}$-fórmula.
Luego $\Sigma:=\left\{ \phi\right\} $ es por definición inconsistente si hay una deducción de $\Sigma$ a $\bot$.
Ahora mi pregunta:
Si $\left\{ \phi\right\} $ es inconsistente, entonces se puede probar que también: $\vdash\phi\to\bot$?
Para mí está claro que la respuesta es "sí" si $\phi$ es una oración porque entonces podemos aplicar el teorema de la deducción.
Pero que si $\phi$ no es una sentencia?
Mi intento:
Si $\tilde{\phi}$ denota un cierre universal de $\phi$ luego $\left\{ \tilde{\phi}\right\} \vdash\phi$ de modo que por transitividad de $\vdash$ tenemos $\left\{ \tilde{\phi}\right\} \vdash\bot$ y aplicando el teorema de la deducción tenemos $\vdash\tilde{\phi}\to\bot$.
Pero esto solo cambia el problema a otra pregunta:
Si hay una deducción $\vdash\tilde{\phi}\to\bot$ entonces también hay una deducción $\vdash\phi\to\bot$?
Gracias de antemano y mis disculpas si esta pregunta es un duplicado.
Respuestas
No leí el libro de Leary y Kristiansen, pero actualmente estoy leyendo "Introducción a la lógica matemática" de Mendelson, así que espero poder responder a su primera pregunta.
En cuanto a su primera pregunta que dice "si una fórmula ϕ (siendo ϕ: ψ ∧ ¬ ψ) demuestra una contradicción ⊥ entonces tenemos ⊢ ϕ → ⊥?" Puedo responder: efectivamente, una fórmula que dice ψ ∧ ¬ ψ nos va a hacer concluir this, esta (ψ ∧ ¬ ψ) → ⊥ fórmula es un teorema, aquí hay una prueba de la fórmula usando reglas de deducción natural:
1) ψ ∧ ¬ ψ - suposición
2) ψ - regla E∧ en 1
3) ¬ ψ - regla E∧ en 1
4) ⊥ - en 2,3
5) (ψ ∧ ¬ ψ) → ⊥ - regla I → en 1,4
Si miramos la tabla de verdad de ψ ∧ ¬ ψ todos los valores son falsos, esto significa que, no solo (ψ ∧ ¬ ψ) → ⊥ es una tautología, sino también (ψ ∧ ¬ ψ) → X (donde X es una fórmula arbitraria) es una tautología. Si una fórmula demuestra una contradicción, debe probar todas las fórmulas.
En cuanto a su segunda pregunta, no tengo la confianza suficiente para dar una respuesta, actualmente estoy leyendo el capítulo dos del libro de Mendelson (lógica de primer orden), así que comparto su duda.