Si $|\int fg| \le M\|f\|_p$ para todos $f\in L^p$, muestra esa $g \in L^{q}$ y $\|g\|_q \le M$, dónde $1/p +1/q=1$

Aug 15 2020

Dejar $g$ ser una función integrable en $[0,1]$ y deja $1 \leq p < \infty$. Suponga que hay una constante$M$ tal que

$$ \left|\int f \;g \right| \leq M \; \|f\|_p $$ para todas las funciones medibles delimitadas $f$.

Muestra esa

un) $g \in L^q$ y

segundo) $||g||_q \leq M$ dónde $q$ es el número conjugado de $p$ (es decir $1/p + 1/q =1$ ).

Para a), utilicé la desigualdad de Holder para obtener

\begin{align}\left|\int f \; g \right| &\leq \int |f \; g| \\ &= \|f \; g \|_1 \\ &\leq \|f\|_p \|g\|_q \end{align}

Entonces $g \in L^q$. No estoy seguro de como atar$\|g\|_q $ por $M$. ¿Se utiliza aquí el teorema de representación de Riesz?

Respuestas

2 J.DavidBeltran Aug 18 2020 at 18:57

De hecho, puede utilizar el teorema de representación de Riesz para resolver el problema. La hipótesis$$ \left| \int f g \right | \leq M \| f\|_{p}$$ muestra en particular que el elemento $g$ define un funcional continuo lineal $T_g$ en el espacio $L^{p}$ a través de la relación $$T_g(f) = \int f g.$$ Ahora, el teorema de representación de Riesz le dice que existe un único $h \in L^{q}$ que representa lo funcional $T_g$ en el sentido de que $$T_g(f) = \int hf \hspace{0.9 cm} \text{for any $f \ in L ^ {p}$.}$$ Además, el teorema establece que $\|T_g\| = \|h\|_{q}$. De esto puedes deducir que$g=h$ y como ya has visto eso $\|T_g\| \leq M$, inmediatamente obtienes que $\|g \| \leq M.$

KaviRamaMurthy Aug 15 2020 at 12:37

Asumiré que $g$ es real valorado y $p>1$. (El caso$p=1$ es similar).

Probaré b) directamente y a) se sigue de b).

Dejar $N$ ser un entero positivo y $f=(sgn \,g)|g|^{q/p}I_{|g| \leq N}$ dónde $q$es el índice conjugado. Luego$g$ está acotado y la desigualdad dada se convierte en $\int_{|g| \leq N} |g|^{q} \leq M (\int_{|g| \leq N} |g|^{q})^{1/p}$. Esto implica que$(\int_{|g| \leq N} |g|^{q})^{1/q} \leq M$. ahora deja$N \to \infty$.