Si$(\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}, \otimes)$es un grupo, demuestre que$n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$es primo

Question

Dejar$n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$. Definir la clase de congruencia$\overline x$como

$$\overline x = \{c\in\mathbb{Z}\;|\; c-x\equiv0\pmod{n}\}$$

Definir$\mathbb{Z}_n$, el conjunto de todas las clases de congruencia módulo$n$:

$$\mathbb{Z}_n = \{\overline0, \overline1, \ldots, \overline{n-1}\}$$

Finalmente, defina la operación.$\otimes$como

$$\overline{a} \otimes \overline{b} = \overline{a\times b}$$

dónde$a\times b$representa la multiplicación regular en$\mathbb{Z}$.

Usando el teorema de Bezout (Sea$a,b\in\mathbb{z}$, después$\gcd(a, b) = 1 \iff \exists u, v\in\mathbb{Z}$tal que$au+bv = 1$.) probar que si$(\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}, \otimes)$entonces es un grupo$n$es primo

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Mi intento:

Toma un$\overline x\in\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}$. El conjunto$\overline x$contiene todo$c\in\mathbb{Z}$que satisfacen la siguiente congruencia:

$$c-x \equiv0\pmod{n}$$

En otras palabras,

$$x \equiv c\pmod{n}$$

Por lo tanto, para algunos$m\in\mathbb{Z}$,

$$c^{-1}\cdot x \equiv 1\pmod{n} \implies c^{-1}\cdot x = 1 + m\cdot n$$

Reordenando esto y usando el teorema de Bezout, obtenemos

$$c^{-1}\cdot x - m\cdot n = 1 \implies \gcd(x, n) = 1$$

Ya que$\overline{x}$fue tomado arbitrariamente, podemos decir que$n$es primo

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Comentarios:

No creo que esto sea correcto porque realmente no he usado axiomas de grupo y he asumido$c^{-1}$existe

¿Podrías ver dónde me he equivocado?

Answer 1

Los axiomas de grupo exigen que$c^{-1}$existe, por lo que ha utilizado uno de ellos. Creo que un enfoque más simple es decir que si$n$no es primo, puedes factorizarlo en dos números$a,b \in \Bbb Z_n$. Entonces la operación de multiplicación no está definida para$a \otimes b$, por lo que no es un grupo.