Significado preciso de $\ll_{n, \varepsilon}$ en el artículo de teoría de números

Question

Al leer este artículo de Dietmann , me encontré con la siguiente línea

$N_n(H;G) \ll_{n, \varepsilon} H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}$

que aparece en el enunciado del teorema $1$. ¿Qué significa exactamente el símbolo$\ll_{n, \varepsilon}$ significa en este contexto?

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Dietmann no explica qué significa esta notación y nunca antes había visto esta notación. El lado izquierdo de esta "desigualdad" no depende de$\varepsilon$, al contrario de esta pregunta , pero al leer la respuesta, supongo que

Para todos $\varepsilon > 0,$ existen constantes $M, K > 0$ tal que para todos $n > M$, tenemos eso $N_n(H;G) \leq K H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}$.

Después de leer esta publicación de blog de Terence Tao y mirar su declaración de la conjetura de ABC (que usa la notación$\ll_\varepsilon$), y mirando la página de Wikipedia correspondiente , que expresa la conjetura ABC en términos de cuantificadores, creo que$N_n(H;G) \ll_{n, \varepsilon} H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}$ también podría significar

Para todos los enteros $n \geq 1$, $\varepsilon > 0$, existe una constante $K$ tal que $N_n(H;G) \leq K H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}.$

Answer 1

$X \ll_{n,\epsilon} Y$ normalmente significa que hay una "constante" $C$ que depende de los parámetros $n$ y $\epsilon$ tal que $X \leq C \cdot Y$. Esto es significativo cuando consideras$X$ y $Y$ como funciones de alguna otra variable además $n$ y $\epsilon$y tratar $n$ y $\epsilon$ como parámetros.