Solicitud de referencia: una generalización multidimensional del teorema fundamental del cálculo
$\newcommand\R{\mathbb R}$Dejar $f\colon\R^p\to\R$ser una función continua. Para$u=(u_1,\dots,u_p)$ y $v=(v_1,\dots,v_p)$ en $\R^p$, dejar $[u,v]:=\prod_{r=1}^p[u_r,v_r]$; $u\wedge v:=\big(\min(u_1,v_1),\dots,\min(u_p,v_p)\big)$; $u\vee v:=\big(\max(u_1,v_1),\dots,\max(u_p,v_p)\big)$; $$\int_u^v dx\, f(x):= (-1)^{\sum_{r=1}^p\,1(u_r>v_r) }\int_{[u\wedge v,u\vee v]}dx\,f(x).$$ Dejar $F\colon\R^p\to\R$ ser cualquier antiderivada de $f$, en el sentido de que $$D_1\cdots D_p F=f,$$ dónde $D_j$ es el operador de la diferenciación parcial con respecto a la $j$th argumento; se supone que el resultado de esta diferenciación parcial repetida no depende del orden de los argumentos con respecto a los cuales se toman las derivadas parciales. Dejar$[p]:=\{1,\dots,p\}$. Para cada juego$J\subseteq[p]$, dejar $|J|$ denotar la cardinalidad de $J$.
Entonces no es difícil establecer la siguiente generalización multidimensional del teorema fundamental del cálculo ( Lema 5.1 ): \ begin {ecuación} \ int_u ^ v dx \, f (x) = \ sum_ {J \ subseteq [p]} ( -1) ^ {p- | J |} F (v_J), \ end {ecuación} donde$v_J:=\big(v_1\,1(1\in J)+u_1\,1(1\notin J),\dots,v_p\,1(p\in J)+u_p\,1(p\notin J)\big)$.
¿Alguien ha visto esta declaración u otra similar en otro lugar? (Solo pregunto sobre referencias, no pruebas).
Respuestas
Para un hecho elemental como este, que puede que se haya reinventado mil veces, es difícil encontrar el primer trabajo donde apareció. Sin embargo, permítanme darles un contexto faltante. Existe toda una industria en la teoría de campos cuánticos constructivos y la mecánica estadística sobre fórmulas de interpolación "inteligentes" relacionadas o fórmulas de Taylor con residuos integrales. Estos se utilizan para realizar las denominadas expansiones de clústeres . Para la identidad del OP, no hay pérdida de generalidad al tomar$u=(0,0,\ldots,0)$ y $v=(1,1,\ldots,1)$. En este caso, a través de la inversión de Möbius en la red booleana , la fórmula proviene de la siguiente identidad.
Dejar $L$ser un conjunto finito. Dejar$f:\mathbb{R}^L\rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}\mapsto f(\mathbf{x})$ ser una función suficientemente suave, y dejar $\mathbf{1}=(1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^L$, luego $$ f(\mathbf{1})=\sum_{A\subseteq L}\int_{[0,1]^A}d\mathbf{h} \left[\left(\prod_{\ell\in A}\frac{\partial}{\partial x_{\ell}}\right)f\right](\psi_A(\mathbf{h})) $$ dónde $\psi_A(\mathbf{h})$ es el elemento $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}$ de $\mathbb{R}^L$ definido a partir del elemento $\mathbf{h}=(h_{\ell})_{\ell\in A}$ en $[0,1]^A$ por la regla: $x_{\ell}=0$ Si $\ell\notin A$ y $x_{\ell}=h_{\ell}$ Si $\ell\in A$. Por supuesto, uno necesita 1) aplicar esto a todos$L$que son subconjuntos de $[p]$, 2) utilizar la inversión de Möbius en la red booleana, y 3) especializarse en $L=[p]$, y esto le da la identidad del OP.
La fórmula anterior es la más ingenua de su tipo utilizada para hacer una expansión de clúster de "par de cubos". Ver fórmula III.1 en el artículo
A. Abdesselam y V. Rivasseau, "Árboles, bosques y selvas: un jardín botánico para la expansión de racimos" .
También se explica con palabras en la página 115 del libro.
V. Rivasseau, "De la Renormalización Perturbativa a la Constructiva" .
Ahora bien, la fórmula es un caso particular de uno mucho más poderoso, a saber, el Lema 1 en
A. Abdesselam y V. Rivasseau, "Una expansión explícita de conglomerados multiescala de campo grande versus pequeño" ,
donde se suman las secuencias "permitidas" $(\ell_1,\ldots,\ell_k)$ de longitud arbitraria de elementos de $L$, en lugar de subconjuntos de $L$. La noción de permitido se basa en una regla de detención arbitraria. La identidad anterior corresponde a "permitido"$=$"sin repeticiones", o la regla de detención de que no se debe virar en un $\ell$al final de una secuencia donde ya aparecía. Al jugar con este tipo de elección de regla de parada, uno puede usar el Lema 1 de mi artículo con Rivasseau, para probar la fórmula de Hermite-Genocchi, la fórmula anisotrópica de Taylor de Hairer en el Apéndice A de "Una teoría de las estructuras de regularidad" y muchas otras cosas. . Cuándo$f$ es el exponencial de una forma lineal, por ejemplo, se pueden obtener varias identidades algebraicas como en las publicaciones MO
identidad de función racional
Identidad que involucra suma sobre permutaciones
Olvidé mencionar que se puede usar el Lema 1 para derivar la fórmula de Taylor del cálculo 1. Esto corresponde a $L$ tener un elemento y definir las secuencias permitidas como las de longitud como máximo $n$. Ver
https://math.stackexchange.com/questions/3753212/is-there-any-geometrical-intuition-for-the-factorials-in-taylor-expansions/3753600#3753600
La $p=2$El caso dimensional es un ejercicio del libro de texto de cálculo de Rogawski. Es el ejercicio 47 en la página 885, sección 15.1 (Integración en varias variables) en la edición de 2008 Early Trascendentals.