¿SÓLO la elipse tiene estas propiedades?
Dos rectas paralelas son tangentes a una elipse. Entre esas dos líneas, cada línea paralela a esas dos interseca la elipse en dos puntos.
El punto medio preciso entre esos dos puntos se encuentra exactamente en la línea que conecta los dos puntos de tangencia.
Mi pregunta aquí es si esa última proposición es verdadera para cada par de tangentes paralelas solo para la elipse y ninguna otra forma.
PD: Para los propósitos actuales, definamos "tangente" como "tocar pero no cruzar el límite". Entonces, una línea oblicua a través de la esquina de un rectángulo es una "tangente", y vemos que el rectángulo NO es un ejemplo de otra forma con la propiedad de interés.
PPS: ok, refinemos un poco el planteamiento del problema. Considere un conjunto acotado cerrado con un interior no vacío en el plano. Supongamos que es estrictamente convexo, es decir, cada punto entre dos de sus puntos es uno de sus puntos interiores. Esto implica que una línea que cruza su límite pero no su interior lo cruza en un solo punto. Llame a esa línea una línea tangente. De ello se deduce que para cada línea tangente, hay exactamente otra línea tangente paralela a ella. Suponga que para cada línea paralela a esos dos y entre ellos, el punto medio de la intersección de esa línea con nuestro conjunto convexo cerrado cerrado está en la línea que conecta los dos puntos de tangencia.
¿De ello se sigue que nuestro conjunto acotado cerrado es el casco convexo de una elipse?
Respuestas
Cada curva convexa cerrada diferenciable por partes con la propiedad de tangente dada es una elipse.
Prueba : el problema es afín, en el sentido de que si una curva tiene la propiedad dada, también la tiene cualquier transformación afín. Entonces, comenzando con un par de tangentes en la extensión más ancha de la curva, use una rotación para hacer que las tangentes sean verticales y un corte para llevar la curva a $\mathcal{C}$ cuyo eje de simetría es el $x$-eje.
Ahora tome el par horizontal de tangentes en $\mathcal{C}$, encontrándolo en dos puntos uno verticalmente sobre el otro. Traducirlo para que esta línea vertical sea la$y$eje. Entonces $\mathcal{C}$ es simétrico tanto $x$ y $y$ejes. Escalar a lo largo de estos ejes trae sus intercepciones a$1$. Cada otro punto tiene un radio como máximo$1$, por cierto, se eligieron las tangentes originales.
Proposición 1. $\mathcal{C}$ está equilibrado, es decir, $x\in \mathcal{C}\implies -x\in\mathcal{C}$.
Esto se sigue directamente de la simetría a lo largo de los dos ejes perpendiculares.
Por tanto, dado cualquier par de tangentes, la línea que une los puntos de contacto pasa por el origen.
Proposición 2. La curva es diferenciable.
Une las esquinas opuestas por una línea a través del origen. Entonces$\mathcal{C}$ tendría distancias iguales de esta línea a lo largo de dos conjuntos de líneas paralelas, lo que da una contradicción.
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Proposición 3. Cualquier punto sobre $\mathcal{C}$ con radio $1$ tiene una tangente perpendicular.
Un punto con el radio máximo $r(\theta)=1$ debe tener $r'=0$.
Proposición 4. Si $OA$ y $OB$ tienen radios de $1$ entonces también lo hace su bisectriz de ángulo $OC$.
La tangente paralela a $AB$ toca la curva en algún punto $C$. La línea$OC$ cortes $AB$ por la mitad por hipótesis y, por lo tanto, es la mediana y la bisectriz del ángulo de $AOB$, y perpendicular a $AB$. Así$\mathcal{C}$ es simétrico sobre $OC$ y entonces la tangente en $C$ es perpendicular a $OC$.
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Deje la tangente en $C$ encuentra la tangente en $A$ en el punto $P$. Considere las tangentes paralelas a$AC$ y la linea $Q'OQ$uniendo las tangentes opuestas. Esta línea pasa por el punto medio de$AC$por hipótesis. En el límite, puntos cercanos$A'$ en $AP$ y $C'$ en $CP$ con $A'C'$ Paralelo a $AC$ también están divididos por $OQ$ ya que $AP$ y $CP$ son tangentes a $\mathcal{C}$. Pero esto significa que$OQ$ es la mediana de $APC$, y por lo tanto $Q$ Está encendido $OP$. Ya que$OAPC$ es un cuadrilátero cíclico con diámetro $OP$, el acorde bisecado $AC$ es perpendicular a $OP$ y entonces $OC=OA=1$.
Proposición 5. $\mathcal{C}$ es un circulo.
Desde el $x$ y $y$ las intersecciones tienen radio $1$, uno puede seguir tomando las bisectrices de los ángulos, formando un conjunto denso de puntos de radio $1$. Por continuidad, todos los puntos tienen el mismo radio.
Por tanto, la curva original es una transformación afín de un círculo, es decir, una elipse.