Soluciones para $615+2^x=y^2$ en los enteros

Question

Este problema es muy similar a uno popular, pero lo encontré de esta manera. Pensé que podría resolverse de manera similar. Esto significa que$x$ tiene que ser un número par, y luego se mantiene $$615=y^2-2^{2k}=(y-2^k)(y+2^k)$$

posible par de factores de $615$ son $\{(615,1), (123, 5), (3,205),(15,41)\}$. Entonces, la forma en que este problema se resuelve generalmente es sumando los 2 factores y encontrando el valor de para$2^k$. Sin embargo, esta vez intenté restar los factores para poder encontrar un posible valor de$2^k$, pero esto significa que solo tenemos las 4 posibilidades para el valor de $2^k$: $\{614, 118, 2020, 26\}$. Que ninguno son valores para$2^k$ con $k\in\Bbb{Z}$. ¿Significa esto que no hay soluciones enteras para esta ecuación? o tal vez hay algo mal en mi razonamiento.

¡Gracias por adelantado!

EDITAR: No asumí que $x$es incluso, debería haber elaborado sobre eso. Si$y^2$ es un número entero, entonces el dígito en el lugar de las unidades debe ser uno de los siguientes: $\{1, 4, 5, 6, 9\}$. Las potencias de 2 solo pueden tener los siguientes dígitos en el lugar de las unidades:$\{2, 4, 6, 8\}$. Si$x$ es un número impar, entonces $2^x$ tiene un $2$ o un $8$ como colocan sus unidades, esto a su vez significa que $y^2=615+2^x$ tiene ya sea $7$ o $3$en el lugar de las unidades, lo cual es una contradicción. Es por eso$x$ debe ser un número par.

Answer 1

Suponer $x \geq 2$. Reduce ambos lados mod 4 para conseguir eso$3 \equiv y^2$, una contradicción ya que $0$ y $1$ son los únicos cuadrados mod 4.

Entonces las únicas opciones posibles son $x = 0$ y $x = 1$. Pero tampoco$615 + 2^0$ ni $615 + 2^1$es un cuadrado perfecto. Entonces no hay soluciones.

Answer 2

Pista :$615\not\equiv1$ modificación $8$, entonces debemos tener $x\lt3$.

Answer 3

Si eso prueba $615+ 2^{x=2k} = y^2$ no tiene soluciones enteras si $x$ incluso.

Si $x$es extraño que podríamos intentarlo.

$615 + 2^{x=2k+1} = y^2$

$2^{2k+1} = y^2 - 615$ entonces $y$ es extraño dejar $y=2m+1$

$2^{2k+1} = 4m^2 + 4m -614$

$2^{2k} = 2m^2 +2m - 307$ lo que significa $2^{2k}$ es extraño entonces $2^{2k} =1$ y $k =0$

$2m^2 +2m = 308$

$m(m+1) = 154$

Pero $154 = 2*7*11$ no puede ser tan factorizado.

Entonces $615+2^x =y^2$ no tiene soluciones enteras si $x$ es extraño tampoco.

Pero eso es bastante ineficiente y no lo aconsejo.

(Sin embargo, esto podría darnos una pista sobre cómo considerar la aritmética $\mod 4$ y la respuesta del Doctor Who finalmente encajará).