Stone-Weierstrass como teorema.

Question

Dejar $f$ ser una función continua de valor real en $[-1,1]$ tal que $f(x) = f(-x),$ para todos $x \in [-1,1].$ Muestre eso para cada $\varepsilon \gt 0$ hay un polinomio $p(x)$ con coeficientes racionales tales que para cada $x \in [-1,1],$ $$\left \lvert f(x) - p(x^2) \right \rvert \lt \varepsilon.$$

¿Cómo pruebo esto? Cualquier ayuda será muy apreciada.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Primero probemos lo siguiente.

1. Suponer $p$ es un polinomio en $[-1, 1]$ y deja $\varepsilon>0.$ Existe un polinomio $q$ Con coeficientes racionales tales que $\|p-q\|<\varepsilon.$

Prueba. Para ver esto deja$\deg(p)=n$ y deja $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_0.$ Elige racionales $b_i$ tal que $|a_i-b_i|<\varepsilon/(n+1).$ Ahora observe que para cualquier $x\in [-1, 1]$ tenemos $|p(X)-q(x)|<\varepsilon.$

Ahora, lo segundo que debe probarse es que una función par $f$ Puede ser aproximado por un polinomio par en $x^2.$ Creo (debido a su comentario) que no tiene ninguna dificultad para demostrarlo.

Espero que ahora pueda ver cómo sigue su reclamo.