Subespacio de dimensión finita si un espacio vectorial normado se cierra usando equivalencia de normas

Question

He mostrado que cualquier norma en un espacio vectorial real de dimensión finita es equivalente, entonces la pregunta es por qué esto implicaría que todo subespacio de dimensión finita del espacio vectorial normalizado está cerrado. (Cerrado en el sentido de que está topológicamente cerrado, su complemento es un subconjunto abierto).

Entiendo que las normas equivalentes producen la misma noción de convergencia, sin embargo, tengo muy pocas ideas sobre por dónde empezar. En cambio, he visto algunas publicaciones que muestran que el subespacio está completo, pero no creo que esté en el espíritu de este problema.

¿Cómo debo proceder? ¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Yo se que si $X$ es un espacio normado sobre algún campo $\mathbb{F}$ y de dimensión finita con dimensión $n$, para que puedas probar $X$ es isomorfo a $\mathbb{F}^{n}$ con la norma euclidiana. $[1]$

Un colorario del resultado anterior es que si $X$ ser un espacio vectorial de dimensión finita con normas $||\cdot||_{1}$ y $||\cdot||_{2}$. Luego$||\cdot||_{1}$ y $||\cdot||_{2}$ son equivalentes.

Ahora, si puedes probar ese resultado $[1]$ entonces tienes que cualquier subespacio de dimensión finita del espacio lineal normado está cerrado.