$ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin^2 (kx)}{k}$ y $ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos^2 (kx)}{k}$

Aug 19 2020


Examinemos la serie $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\sin^2 (kx)}{k}$ y $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\cos^2 (kx)}{k}$


Mi intento :
$\forall t , ~ \cos^2(t) + \sin^2(t) =1$ y $\sum\limits_{k \ge 1} \dfrac{1}{k} =\infty$.
Como los dos términos son positivos, al menos uno de las series debe ser divergente.
¿Cómo demostrar que ambas series son divergentes?

Como se indica en la sugerencia, $\cos^2(kx)= 1 + 2 \cos(2kx)$

Respuestas

1 MarkViola Aug 18 2020 at 22:33

INSINUACIÓN:

Ambas series divergen. Para mostrar esto, haga uso de las identidades

$$\begin{align} \sin^2(x)&=\frac{1-\cos(2x)}{2}\\\\ \cos^2(x)&=\frac{1+\cos(2x)}{2} \end{align}$$

junto con el hecho de que $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{n}$ converge para $x\ne m\pi$, $m\in \mathbb{Z}$, como lo garantiza la prueba de Dirichlet .