Suma del espacio vectorial
La pregunta en la que estoy trabajando es la siguiente:
Suponer $U_1$ y $U_2$ ser subespacios de un espacio vectorial $V$. Muestra esa$U_1+U_2$ es igual a la intersección de todos los subespacios de $V$ que incluye $U_1 \cup U_2$.
Mi intento:
Dejar $K = \bigcap_{i = 0}V_i$ ser la intersección de todos los subespacios tal que $U_1$ $\cup$ $U_2$ $\subseteq V_i$ para todos $i$. Dejar$U = U_1+U_2 = \{x + y \in V : x \in U_1, y \in U_2\}$. Debemos demostrar que$U \subseteq K$ y $K \subseteq U$.
Dado que la intersección de cualquier subespacio da como resultado otro subespacio, sabemos que K es un subespacio. Dado que los subespacios están cerrados bajo la adición, tenemos eso para$x,y$ en $K$, $x+y\in K$. Dejando$x$ y $y$ ser elementos de $U_1 \cup U_2$, está claro que $U \subseteq K$.
El lapso de un conjunto $S$ es la intersección de todos los subespacios de un espacio vectorial $V$ que contienen $S$. Por lo tanto$K = \operatorname{span}(U_1 \cup U_2)$. Entonces elementos de$K$ se puede escribir como combinaciones lineales de $U_1 \cup U_2$. Ya que$U$ también se puede representar como combinaciones lineales de $U_1 \cup U_2$ resulta que $K \subseteq U$.
Esto se sintió un poco demasiado fácil, así que estoy pensando que me he perdido algo importante. Cualquier ayuda aquí sería genial.
Respuestas
¡Es así de simple! Suponga que tiene un subespacio$W$ de $V$ tal que $U_1\cup U_2\subseteq W$. Entonces tenemos, para cualquier$u_1\in U_1, u_2\in U_2$, $u_1+u_2\in W$ porque $W$es un subespacio. Así,$U_1+U_2\subseteq W$. Como$W$ fue arbitrario, sabemos que esta inclusión es válida para todos esos subespacios y, por lo tanto, es válida para su inclusión dándonos $U_1+U_2\subseteq \bigcap_{U_1\cup U_2\subseteq W}W$. Por otra parte,$U_1+U_2$ es en sí mismo un subespacio de $V$ conteniendo $U_1\cup U_2$ lo que da la inclusión inversa.