Suma sobre coeficientes binomiales

Question

Quiero saber si la siguiente suma tiene forma cerrada: $$\sum_{j=0}^N{j+k-1\choose k-1}{N-j+k-1\choose k-1}$$

Intenté reescribir la suma de modo que pudiera usar la siguiente forma de la identidad de Vandermonde: $$\sum_{m=0}^n{m\choose j}{n-m\choose k-j}={n+1\choose k+1}$$ pero no pude llegar a ningún resultado.

Answer 1

Pista: ¡ Lo estás haciendo bien! Usando lo que pones allí, necesitarás$n-(j+k-1)=N-j+k-1$ implica $n=N+2k-2$ y tu tambien tienes eso $2k-2-(k-1)=k-1$ Así que toma el $k$ en la segunda ecuación para ser $2k-2.$