Superficies de Riemann elípticas, parabólicas e hiperbólicas: ¿clasificación?
En el libro de Kra y Farkas sobre las superficies de Riemann se da la siguiente definición (ligeramente inusual):
Definición IV.3.2 ( Sección IV.3 ). Dejar$M$Sea una superficie de Riemann. llamaremos$M$ elíptica si y sólo si$M$es compacto llamaremos$M$ parabolica si y solo si$M$no es compacto y$M$no lleva una función subarmónica no negativa. llamaremos$M$ hiperbólico si y sólo si$M$lleva una función subarmónica negativa no constante.
Pregunta. ¿Hay alguna forma geométrica de caracterizar las superficies parabólicas e hiperbólicas? Por ejemplo, supongamos$M$es una superficie de Riemann compacta y$x_1,\ldots, x_n$son puntos en él. es la superficie$M\setminus \{x_1,\ldots, x_n\}$¿parabólico?
Respuestas
Esta es una terminología algo inusual, pero es común en la teoría de clasificación de superficies abiertas de Riemann. La notación más estándar es$P_G$para "parabólico", y$O_G$por "hiperbólico".
La superficie$M\backslash\{ x_1,\ldots,x_n\}$es parabólica en este sentido, por el "teorema de la singularidad removible" (una función subarmónica que está acotada desde arriba en una vecindad perforada del punto se extiende a una función subarmónica en la vecindad completa).
Hay algunos criterios, especialmente, para superficies de la forma$M\backslash E$, dónde$M$es compacto y$E$es un subconjunto cerrado. Pero estos criterios no son muy geométricos: utilizan la capacidad. Se pueden dar algunos resultados en términos de medidas de Hausdorff de$E$pero no son "necesarios y suficientes".
Los resultados clásicos se pueden encontrar en los libros.
M. Tsuji, Potencial teoría en la teoría moderna de funciones, Maruzen, Tokio, 1959 (hay una reimpresión de AMS).
Ahlfors, Sario, superficies de Riemann, Princeton UP, 1960.