Supremum de $\sin(x) + \sin(\varphi x)$

Question

Dejar $\varphi$sea ​​la proporción áurea. ¿Cuál es el supremo de$f(x)=\sin(x) + \sin(\varphi x)$?

Mi idea era que podemos considerar la secuencia de funciones $f_n(x) = \sin(x) + \sin(\frac{F_{n+1}}{F_n} x)$ para los números de Fibonacci $F_n$, que converge a $f(x)$. La secuencia$\{x_n\}_{n \geq 1}=F_n \pi + a_n$ satisface $f_n(x_n) = \sin(a_n) + \sin(F_n a_n)$, de modo que si elegimos el correcto $a_n$, luego $f_n(x_n) =2$ $\forall n$; que cambia el problema a uno con un número entero en lugar de$\varphi$, pero no estoy seguro de dónde proceder desde aquí.

Answer 1

Claramente, el máximo está delimitado por encima de $2$, como cada $\sin$ tiene un máximo de $1$.

Obtienes el máximo para la primera función cuando $\sin x = 1$ o $x = 2 \pi k_1 + \pi/2$ por algún entero $k_1$, e igualmente cuando $\sin (\phi x) = 1$ o $\phi x = 2 \pi k_2 + \pi/2$. Una pequeña manipulación da:

$$k_1 = \frac{k_2}{\phi} - \frac{\phi - 1}{4 \phi}$$

Porque $\phi$ no es racional, no se puede resolver esta ecuación exactamente para $k_1$ y $k_2$. Sin embargo, puede aproximar esto arbitrariamente de cerca eligiendo$k_2$ extremadamente grande (p. ej., $10^{1000}$), y resolviendo para $k_1$. De esta manera puede acercarse lo más$f(x) = 2$ como quieras.