Teorema de descomposición espectral

Question

Estoy revisando el teorema de descomposición espectral. Si$Y$ es una matriz simétrica, entonces $Y$ se puede descomponer como $Y=Q\Lambda Q'$, donde las columnas de $Q$ son los vectores propios de $Y$ y $\Lambda$ es una matriz diagonal con la diagonal compuesta por los valores propios de $Y$.

De alguna parte de este teorema se puede concluir que $Q$Qué es una matriz ortogonal? Sé que los vectores propios de$Y$ son ortogonales, por lo que se puede concluir que la matriz $Q$ es ortogonal?

Answer 1

Debe tomar los vectores propios con norma igual a uno, encontrará que $QQ^{\top}=\large𝟙$.

Answer 2

En tu expresión $Y=Q\Lambda Q'$ y filas de $Q$ son los vectores propios de $Y$.

En esto, $Y=Q'\Lambda Q$ y columnas de $Q$ son los vectores propios de $Y$.

Sabemos que en una matriz simétrica, los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son siempre ortogonales. Si$\bf x$ y $\bf y$ son autovectores correspondientes a diferentes autovalores $\lambda$ y $\alpha$ respectivamente, entonces $$\langle Y{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},Y{\bf y}\rangle\implies\langle\lambda{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},\alpha{\bf y}\rangle\implies(\lambda-\alpha)\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0\implies\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0$$ ya que $\lambda-\alpha\neq 0$.

Ahora encuentre una base ortonormal para cada espacio propio que haga el conjunto de todos los vectores propios de $Y$ un juego ortonormal en $\mathbb{R}^n$ (ya que los diferentes espacios propios son ortogonales entre sí).