Todas las formas simétricas bilineales no degeneradas en un espacio vectorial complejo son isomorfas

Aug 16 2020

Todas las formas simétricas bilineales no degeneradas en un espacio vectorial complejo son isomorfas. ¿Significa esto que, dadas formas simétricas bilineales no degeneradas en un espacio vectorial complejo, puede elegir una base para el espacio vectorial tal que la representación matricial de la forma bilineal sea la matriz identidad? ¿Alguien puede ayudarme a explicarme por qué es esto?

Estoy pensando que una matriz con entradas en$\mathbb{C}$va a tener una ecuación característica que se divide en factores lineales (con multiplicidades) y, por lo tanto, será diagonalizable, pero aún no puede juntar estas piezas. ¡Se agradecen las ideas!

Respuestas

3 BenGrossmann Aug 16 2020 at 19:31

La respuesta es sí.

Primero, una prueba de que las formas bilineales son isomorfas. Nótese que basta probar que esto se mantiene$\Bbb C^n$.

Primero, afirmo que toda matriz invertible, compleja y simétrica se puede escribir en la forma$A = M^TM$para alguna matriz compleja$M$. Esto puede verse, por ejemplo, como una consecuencia de la factorización de Takagi .

Ahora deja$Q$denota una forma bilineal simétrica sobre$\Bbb C^n$, y deja$A$denotemos su matriz en el sentido de que$Q(x_1,x_2) = x_1^TAx_2$. Dejar$Q_0$denota la forma bilineal canónica definida por$Q_0(x_1,x_2) = x_1^Tx_2$. Nosotros escribimos$A = M^TM$para alguna matriz compleja invertible$M$.

Definir$\phi:(\Bbb C^n, Q) \to (\Bbb C^n, Q_0)$por$\phi(x) = Mx$. Es fácil comprobar que$\phi$es un isomorfismo de espacios de productos bilineales, por lo que los dos espacios son de hecho isomorfos.

Con todo lo establecido: podemos ver que el cambio de base$y = Mx$es tal que$Q(x_1,x_2) = y_1^Ty_2$.