¿Todos los conjuntos tienen un endomapa rígido?

Aug 16 2020

Dejar$X$ser un conjunto. Dos endomapas$f,f':X\to X$son isomorfos si hay una biyección$g:X\to X$tal que$f'=g\circ f\circ g^{-1}$. una biyección$g:X\to X$satisfactorio$f=g\circ f\circ g^{-1}$se llama automorfismo de $f$. la identidad de$X$es el automorfismo trivial de$f$. Un endomapa es rígido si no admite automorfismos no triviales.

¿Todos los conjuntos tienen un endomapa rígido?

Claramente, la existencia de un endomapa rígido de un conjunto dado$X$depende solo de la cardinalidad$|X|$de$X$.

Reclamamos:

Si$|X|\le2^{\aleph_0}$, después$X$tiene un endomapa rígido.

Prueba:

Dejar$X$ser un conjunto de cardinalidad a lo sumo$2^{\aleph_0}$, y demostremos que$X$tiene un endomapa rígido$f$. Podemos suponer que$X$no está vacío.

Si$X=\{1,\ldots,n\}$con$n\ge2$establecimos$f(i)=\max\{1,i-1\}$. Si$X=\mathbb N$establecimos$f(i)=\max\{0,i-1\}$.

Ahora asume$\aleph_0<|X|\le2^{\aleph_0}$. (Nosotros escribimos$|X|$por la cardinalidad de$X$.)

Dejar$I$Sea el conjunto de isomorfismos clases de endomapas rígidos de$\mathbb N$. Reclamamos

(1)$|I|=2^{\aleph_0}$.

Demostremos que (1) implica que$X$tiene un endomapa rígido. podemos asumir$$ X=\bigsqcup_{j\in J}X_j $$dónde$\bigsqcup$significa "unión discreta", donde$J$es una cardinalidad$|X|$conjunto de endomapas rígidos no isomorfos de$\mathbb N$, y donde$X_j=\mathbb N$para todos$j\in J$. Para cada$j$dejar$f_j$ser un endomapa de$X_j$de tipo$j$. Después$$ f:=\bigsqcup_{j\in J}f_j $$(notacin obvia) es un endomapa rgido de$X$.

Solo queda probar (1).

Dejar$X_0,X_1,\ldots$ser subconjuntos finitos no vacíos de$\mathbb N$tal que:

$\bullet\ \mathbb N=X_0\sqcup X_1\sqcup\cdots,$

$\bullet\ X_0=\{0\}$.

Para$n\ge1$dejar$f_n:X_n\to X_{n-1}$Sea un mapa cuyas fibras tienen cardinalidades distintas, sea$f_0$ser el único endomapa de$X_0$y definir$f:\mathbb N\to\mathbb N$por$f(x)=f_n(x)$si$x\in X_n$.

Entonces es fácil ver que$f$es rígido, y que tenemos muchas clases de isomorfismos continuos de tales endomapas de$\mathbb N$.

Respuestas

Pierre-YvesGaillard Aug 24 2020 at 00:19

La pregunta fue respondida por YCor en MathOverlow.

Quería publicar una respuesta wiki de la comunidad que contenía solo la oración anterior, pero el software la convirtió en un comentario. Lo intento de nuevo después de haber agregado la oración actual y el siguiente extracto de la respuesta de YCor:

"... existe (por$X\neq\emptyset$) una estructura de árbol enraizado en$X$cuyo grupo de automorfismos es trivial. De hecho, concediendo esto, y denotando$v_0$la raíz, por un vértice$v$definir$f(v)$como$v_0$si$v_0=v$, y como único vértice en$[v_0,v]$a distancia 1 a$v$de lo contrario. Después$f\in X^X$y su centralizador en$\mathrm{Sym}(X)$es el grupo de automorfismos del árbol enraizado correspondiente, que se reduce a$\{\mathrm{id}_X\}$."