Trace ideal de un módulo proyectivo
En su artículo de 1969 "Sobre módulos proyectivos de rango finito", Wolmer Vasconcelos escribe
Dejar $M$ se un proyectivo $R$-módulo ... El rastro de $M$ se define como la imagen del mapa $M \otimes_R \operatorname{Hom}_R(M, R) \to R$, $m \otimes f \to f(m)$; se denota por$\tau_R(M)$. Si$M \oplus N = F$ (gratis), está claro que $\tau_R(M)$ es el ideal de $R$ generado por las coordenadas de todos los elementos en $M$, para cualquier base elegida en $F$. De ello se deduce que para cualquier homomorfismo$R \to S$, $\tau_S(M \otimes_R S) = \tau_R(M) S$.
Una afirmación similar aparece en su artículo de 1973 "Finitud en ideales proyectivos":
Recordamos la noción de traza de un módulo proyectivo $E$ sobre el anillo conmutativo $A$. Es simplemente el ideal$J(E) = J = \Sigma f(E)$ dónde $f$ atropella $\operatorname{Hom}_A(E, A)$. Equivalentemente,$J$ es el ideal generado por las "coordenadas" de todos los elementos de $E$ siempre que una descomposición $E \oplus G = F$(gratis) se da. Según la segunda interpretación, se sigue que si$h \colon A \to B$ es un homomorfismo de anillo, entonces $J(E \otimes_A B) = h(J(E)) B$.
La primera afirmación es fácil de verificar (aunque con un cambio de módulo gratuito) de la siguiente manera. Si$F = M \oplus N$ tiene una base $\{ v_i \}$, podemos considerar $F' = F \oplus R$, dónde $u$ es un generador para $R$. Para cualquier$f \colon F \to R$, $F'$ tiene una base compuesta de $u$ y todo $w_i := v_i - f(v_i)u$. Con respecto a esta base,$v_i = w_i + f(v_i) u$, por lo tanto, la $u$-coordinado de $v_i$ es $f(v_i)$. Entonces cada homomorfismo$M \to R$ es la restricción de una función de coordenadas en $F'$.
Lo que no me queda claro es el motivo de la segunda afirmación de que $\tau_S(M \otimes_R S) = \tau_R(M) S$. La inclusión$\tau_R(M) S \subset \tau_S(M \otimes_R S)$ es obvio, así que déjame concentrarme en el otro.
Uno puede elegir una descomposición $M \oplus N = F$ (gratis), para que $M \otimes_R S \oplus N \otimes_R S = F \otimes_R S =: F_S$, que es gratis sobre $S$. Hasta agregar un$S$ En suma, también se puede suponer que cada $f \colon M \otimes_R S \to S$ es la restricción de alguna función de coordenadas en $F_S$. Pero las coordenadas en$F_S$dependen de la elección de una base. Si la base se obtiene de un$R$-base de $F$, la afirmación es clara. Pero$F_S$ podría tener muchas opciones de $S$-Bases que no se derivan de $R$.
Creo que me estoy perdiendo algo bastante trivial, pero no puedo verlo ahora, así que pensé que preferiría preguntar aquí.
Respuestas
La confusión es lingüística, como se identifica en los comentarios.
Lema. Dejar$M$ se un proyectivo $R$-módulo, y supongamos $M \oplus N \cong F$ es gratis sobre una base $\mathcal B$. Xa$b \in \mathcal B$, escribir $\varepsilon_b \colon F \to R$ para la toma del elemento 'dual' $b$ a $1$ y todos los demás elementos básicos para $0$. Entonces$\tau(M)$ es el ideal generado por $\varepsilon_b(m)$ para $b \in \mathcal B$ y $m \in M$.
(Por abuso de notación, escribimos $\varepsilon_b(m)$ por lo que debería denotarse correctamente $\varepsilon_b(m,0)$.)
Prueba. Ya que$\varepsilon_b|_M$ es un homomorfismo $M \to R$, claramente tenemos $\varepsilon_b(m) \in \tau(M)$ para todos $b \in \mathcal B$ y todo $m \in M$. Tenemos que demostrar que generan. En la definición de$\tau(M)$, podemos reemplazar $\operatorname{Hom}(M,R)$ por $R^{\mathcal B} = \operatorname{Hom}(F,R) \twoheadrightarrow \operatorname{Hom}(M,R)$. Los elementos se pueden escribir como$f = (f_b)_{b \in \mathcal B}$, dónde $f_b = f(b)$son constantes. Ahora la idea es que$f(m)$ solo depende de las coordenadas de $f$ dónde $m$ esta apoyado:
Dejar $f = (f_b)_{b \in \mathcal B} \in R^{\mathcal B}$ y $m = \sum_{b \in \mathcal B'} a_b b \in M$ para algún subconjunto finito $\mathcal B' \subseteq \mathcal B$. Escribir$f_{\mathcal B'}$ para la función cuya $\mathcal B'$-coordenadas de acuerdo con $f$y cuyas otras coordenadas desaparecen. Entonces$$f(m) = \sum_{b \in \mathcal B'} f(a_b b) = \sum_{b \in \mathcal B'} f_b \cdot a_b = \sum_{b \in \mathcal B'} f_b \cdot \varepsilon_b(m),$$ entonces $f(m)$ se expresa como una combinación de $\varepsilon_b(m)$. $\square$
Corolario. Dejar$M$ se un proyectivo $R$-módulo y dejar $R \to S$ser un homomorfismo de anillo. Entonces $$\tau\left(M \underset R\otimes S\right) = \tau(M)S.$$
Prueba. Escribir$M \oplus N \cong F$ para algunos $R$-módulo $N$ y una libre $R$-módulo $F$. Entonces$$\left(M \underset R\otimes S\right) \oplus \left(N \underset R\otimes S\right) \cong F \underset R\otimes S.$$ Si $F$ tiene base $\mathcal B$, luego los elementos $b \otimes 1$ formar una base de $F \otimes_R S$. Además,$M \otimes_R S$ es generado por elementos del formulario $m \otimes 1$. Por lo tanto,$\tau(M \otimes_R S)$ es exactamente el ideal generado por $\varepsilon_{b \otimes 1}(m \otimes 1)$, cual es $\tau(M)S$. $\square$