Transformación de Fourier derivando una función e integrando la solución.

Question

¿La integral de la transformada de Fourier de la derivada es una función igual a la transformada de Fourier de la función?

Por ejemplo, tengo una función.$\theta(x)=-2\tan^{-1}(\frac{x}{c})$.

Encuentro bastante difícil calcular la transformada de Fourier de esta función. Entonces, estaba planeando tomar la derivada de la función.$$\theta'(x)=-\frac{2}{c \left(\frac{x^2}{c^2}+1\right)}$$Puedo calcular fácilmente la transformada de Fourier de esta función$\theta'(p)=\sqrt{2 \pi } \left(-e^{-c | p| }\right)$. Integrando en ambos lados:$\theta(p)=\frac{| p| \left(\sqrt{2 \pi } e^{-c | p| }\right)}{c p}$

¿Es esta la transformada de Fourier correcta de la función?$\theta(x)$?

Answer 1

No es verdad. El FT de$f'$es$-it \hat {f} (t)$. Entonces para encontrar$\hat {f} (t)$solo tienes que dividir$\hat {f'}(t)$por$-it$en lugar de integrarlo.