Transformada de Fourier de $L^1$ función cuya derivada está en $L^1$ y se desvanece en el infinito está en $L^1$

Jan 06 2021

$f \in L^1(\mathbb{R})$ es una función diferenciable tal que $f' \in L^1(\mathbb{R}) \cap C_0(\mathbb{R})$, demuestre que la transformada de Fourier de $f$ célebre $\hat{f}$ es en $L^1 (\mathbb{R})$

Yo se si $f,f'\in L^1(\mathbb{R})$, entonces $\widehat{f'}(t)=it\hat{f}(t)$pero no tengo idea de cómo utilizar la condición de que la derivada se desvanezca en el infinito. Cualquier idea será de ayuda.

Respuestas

1 copper.hat Jan 07 2021 at 11:07

Dos pistas:

Utilice el hecho de que $f'$ está limitado a mostrar que $f' \in L^2$ y el uso de Plancherel.

Tenga en cuenta que $f'$ está acotado y desde$|f'|^2 \le \sup |f'| |f'|$ vemos eso $f' \in L^2$. Entonces Plancherel demuestra que$\hat{f'} \in L^2$. Tenga en cuenta que$\hat{f'}(\omega) = i\omega \hat{f(\omega)$.

Utilice Cauchy Schwartz y tenga en cuenta que para $\omega \neq 0$ tenemos $\hat{f}(\omega) = \omega \hat{f}(\omega) \cdot {1 \over \omega}$.

Xa $\omega \neq 0$ tenemos $|\hat{f}(\omega)| = |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|}$ y Cauchy Schwartz da $\int|\hat{f}| = \int |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega = \int |\hat{f'}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega \le \| \hat{f'}\| \| \omega \mapsto {1 \over |\omega|} \|$.