Transformada de Laplace para distribuciones

Question

La transformada de Fourier para distribuciones templadas es bien conocida. Está definido por$$\langle \mathcal{F}T , \phi\rangle = \langle T,\mathcal{F}\phi\rangle$$Para cualquier función de Schwartz $\phi$. Para funciones ordinarias, se define por$$\mathcal{F}f(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt$$Por otro lado, la transformada de Laplace unilateral para las funciones ordinarias es $$\mathcal{L}f(s) = \int_{0^{-}}^{+\infty}e^{-st}f(t)dt$$Dónde $s \in \mathbb{C}$. ¿Es posible tomar la transformada de Laplace de distribuciones? ¿Cómo se define entonces? Se sabe que$\mathcal{L}\delta(t) = 1$ pero no se si es riguroso ya que $\delta(t)$ no es una función ordinaria.

Answer 1

Si $T$ es una distribución con soporte compacto entonces $\langle T(t), e^{-st} \rangle$está bien definido. Uno puede tomar$\rho \in C_c^\infty$ tal que $\rho \equiv 1$ en un barrio del apoyo de $T$ y definir $\langle T(t), e^{-st} \rangle = \langle T(t), \rho(t) e^{-st} \rangle$. El resultado no depende de la elección de$\rho$.