Transversal e intersección de dos foliaciones

Oct 28 2020

Dejar $\mathcal{F}_1$ y $\mathcal{F}_2$ser dos foliaciones de un colector. Nosotros decimos eso$\mathcal{F}_1\pitchfork \mathcal{F}_2$ Si $T_p L^{(1)}+T_pL^{(2)}=T_p M$ para cualquier $p\in M$, dónde $L^{(1)}$ y $L^{(2)}$ son las hojas a través $p$.

Ahora si tenemos eso $\mathcal{F_1}\pitchfork \mathcal{F}_2$, definimos $\mathcal{F}_1\cap \mathcal{F}_2$ para ser la foliación donde las hojas son los componentes conectados de $L^{(1)}\cap L^{(2)}$. Ahora queremos comprobar que es una foliación con codimensión la suma de las codimensiones de$\mathcal{F}_1$ y $\mathcal{F}_2$.

Creo que la idea es usar el teorema de la función implícita, pero no llego a ninguna parte en concreto. Es decir, tomar cartas foliadas para$\mathcal{F}_1$, $(x_1,...,x_k,y_1,...,y_{m-k})$y gráficos foliados para $\mathcal{F}^2$, $(w_1,...,w_k',z_1,...,z_{m-k'})$ tal que $p\cap L^{(1)}\cap L^{(2)}=\{p\in U: y_1(p)=ct,...,y_{m-k}(p)=ct,z_1(p)=ct,...,z_{m-k'}(p)=ct\}$. Ahora, a partir de esto, he intentado construir un nuevo gráfico de coordenadas para que obtengamos el resultado pero no llegué a ninguna parte.

Se agradece cualquier ayuda o sugerencia con esto. Gracias por adelantado.

Intento de solución:

Lo primero que notamos es que desde $\mathcal{F}_1$ y $\mathcal{F}_2$ son foliaciones tendremos que las hojas de esta nueva foliación cubrirán $M$, son disjuntos ya que estamos tomando los componentes conectados, y estarán conectados a la ruta ya que estamos tomando los componentes conectados y $M$está conectado a la ruta localmente. Ahora necesitamos encontrar los gráficos foliados de$\mathcal{F}$y compruebe su dimensión. Dejar$p\in M$, tenga en cuenta que desde $L^{(1)}$ y $L^{(2)}$ son transversales tendremos que $L^{(2)}\cap L^{(1)}$ es una subvariedad de $L^{(1)}$Usando la forma normal local sabemos que existe un conjunto abierto de $p\in L^{(2)}, U,$ y gráfico de coordenadas $(V,\phi)=(V,x_1,...,x_k)$ para $L^{(1)}$ tal que $U\cap L^{(1)}=\{p\in V : x^{k'}(p)=...=x^k(p)=0\}$, dónde $k'=dim L_1 -(dim L_1 + dim L_2 -dim M)= codim \mathcal{F}_2$. Ahora observe que la forma en que le dimos la estructura múltiple a$L^{(1)}$ fue que la topología fue generada por las placas $L^{(1)}\cap U'$ dónde $U'$ era un gráfico foliado para $p$, y el gráfico de coordenadas fue la restricción del gráfico foliado a los componentes no constantes. Entonces tenemos el$(x_1,...,x_k)$ están asociados con un gráfico de $M$, $(x^1,...,x^k,y^1,...,y^{d-k})$ tal que los componentes conectados de $L^{(1)}\cap U'$ son de la forma $\{p\in U' : y^1(p)=ct,...,y^{d-k}(p)=ct\}$. Ahora tenemos$U$ es una placa para $U''\cap L^{(2)}$. También sabemos que$p$ estará en un componente conectado de $L^{(1)}\cap L^{(2)}$, que ahora denotamos por $L$. Si consideramos que la tabla foliada es$(W:=U'\cap U'',x^1,...,x^k,y^1,...,y^{d-k})$ tendremos que los componentes conectados de $W\cup L$ son de la forma $\{p\in W: y^1(p)=ct,...,y^{d-k}(p)=ct,x^{k-k'}(p)=,...,x^k(p)=0\}$. Para ver el enunciado sobre la dimensión, notamos que$codim \mathcal{F}_1+ dim L^{(1)}-(dim L^{(1)}+dim L^{(2)}-dim M)=codim\mathcal{F}_1 +codim \mathcal{F}_2 $.

Respuestas

1 DIdier_ Oct 29 2020 at 05:20

Creo que aquí hay una respuesta. Dejar$\mathcal{D}_1$ ser la distribución tangente de la foliación $\mathcal{F}_1$ y $\mathcal{D}_2$ Esos de $\mathcal{F}_2$. Estas distribuciones son totalmente integrables, es decir$[\mathcal{D}_i,\mathcal{D}_i]\subset \mathcal{D}_i$. Dejar$\mathcal{D} = \mathcal{D}_1\cap \mathcal{D}_2$ser la distribución de la intersección. Tiene rango constante como en cualquier$p\in M$, $\dim\mathcal{D}_p = \dim\left({\mathcal{D}_1}_p\cap{\mathcal{D}_2}_p\right)=\dim{\mathcal{D}_1}_p+\dim{\mathcal{D}_2}_p-\dim\left({\mathcal{D}_1}_p+{\mathcal{D}_2}_p\right)$, y entonces $\mathrm{codim}\mathcal{D}_p = \mathrm{codim}{\mathcal{D}_1}_p + \mathrm{codim}{\mathcal{D}_2}_p$ (recordar que $\mathcal{F}_1\pitchfork \mathcal{F}_2$)

Ahora, demostremos que $\mathcal{D}$ es integrable, es decir $[\mathcal{D},\mathcal{D}]\subset \mathcal{D}$. Dejar$X,Y$ ser campos vectoriales en $\mathcal{D}$. Como$\mathcal{D}\subset \mathcal{D}_1$, $[X,Y]$ está en un campo vectorial en $\mathcal{D}_1$. Simétricamente, es un campo vectorial en$\mathcal{D}_2$. Entonces, es un campo vectorial en$\mathcal{D}_1 \cap \mathcal{D}_2 = \mathcal{D}$y $[\mathcal{D},\mathcal{D}]\subset \mathcal{D}$. Según el teorema de Frobenius, existe una foliación$\mathcal{F}$ ese paquete tangente es $\mathcal{D}$. Las subvariedades integrales son las intersecciones de las hojas de las foliaciones anteriores.

Editar Aquí hay otra estrategia. Primero, demuestre que la intersección de dos subvariedades transversales es una subvarietal. Dejar$N$ y $N'$ ser dos sub-colectores transversales con $\mathrm{codim} N= p, \mathrm{codim} N' =q$. Dejar$x \in N\cap N'$ser arreglado. Tomar un gráfico$\varphi : U \to \mathbb{R}^n$ centrado en $x$. Entonces$\varphi (U\cap N)$ y $\varphi(U\cap N')$ son subvariedades de $\varphi(U)$ de codimensión $p$ y $q$. Allí existe$f = (f_1,\ldots,f_p): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ y $g=(g_1,\ldots,g_q): \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^q$ inmersiones suaves de modo que $\varphi(U\cap N) = f^{-1}(\{0\})$ y $\varphi(U\cap N')= g^{-1}(\{0\})$. Dejar$h = (f_1,\ldots,f_p,g_1,\ldots,g_q) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{p+q}$. La condición de transversalidad asegura que$h$ es una sumbersion, y por lo tanto, $\varphi(U\cap\left(N\cap N'\right)) = h^{-1}(\{0\})$ es una subvariedad de $U\cap \mathbb{R}^n$ de codimensión $p+q$y $U\cap (N \cap N') = \varphi^{-1}(h^{-1}(\{0\}) = (h\circ\varphi)^{-1}(\{0\})$ es una subvariedad suave de codimensión $p+q$.

Dejar $\mathcal{F}^1$ y $\mathcal{F}^2$ ser dos foliaciones lisas transversales en $M^n$. Si$L^1$ y $L^2$ son hojas de $\mathcal{F}^1$ y $\mathcal{F}^2$, y si $L^1\cap L^2 \neq 0$, entonces el resultado anterior muestra que $L^1\cap L^2$ es una subvariedad suave de $M$ con codimensión $\mathrm{codim}L_1 + \mathrm{codim}L_2$. Como la dimensión de las hojas de una foliación es constante, si dos hojas transversales se cruzan, su intersección es una subvariedad de dimensión.$n - \mathrm{codim}\mathcal{F}^1 -\mathrm{codim}\mathcal{F}^2$.