Trazar entropías

Question

Estoy estudiando las relaciones entre los funcionales de entropía traza y la combinatoria y me enfrento al siguiente problema. Permite$\mathcal {D}$Sea el siguiente operador diferencial$1 -x\cdot \cfrac{d}{dx}$es decir$\mathcal {D} g = g - x\cdot g'$.

Para$m\ge 0$entero, si$\Phi_m(x) := x\cdot \log(x)^m$después$\mathcal {D} \Phi_m(x) = -m\cdot \Phi_{m-1}(x)$y, (al menos formalmente) para una función$g$podemos escribir$g(x) = \sum\limits_{m\ge 0} g_m \cdot \Phi_m(x)$dónde$$g_m = \cfrac{(-1)^m}{m!}\cdot \mathcal {D}^m g(x) |_{x=1}\;.$$

Estoy tratando de averiguar qué tipo de funciones$g(x)$puede satisfacer las siguientes condiciones en$(0;1]$

YO)$g(x) \ge 0$,$g(0)=0$. (Positividad)

yo)$\mathcal {D}^2 g(x) \le 0$. (algún tipo de$\mathcal {D}$-concavidad)

III)$\left(\mathcal {D}^2 - \mathcal {D}\right) g(x) \le 0$(esta es la concavidad estándar expresada con el operador$\mathcal {D}$

IV)$\exists \ 0< \varepsilon \le 1$tal que$g(x) > -x^2\cdot \log(x) \quad \forall \ x \in (0;\varepsilon)$

V)$\exists \ a \in (0;\frac{1}{2}]$tal que$$g(a)+g(1-a) = -a\cdot \log(a) -(1-a)\cdot \log(1-a).$$

Si imponemos solo las condiciones I), II) y III) hay muchas funciones que las satisfacen, pero

1. agregando IV) No puedo encontrar ninguna función excepto de la siguiente forma$g(x) = k\cdot x \cdot \log(x), \ k$constante real (aquí$\varepsilon=1$). Tenga en cuenta que$g$no satisface V).

2. agregando IV) y V) no puedo encontrar ninguna otra función excepto el rastro de entropía de Boltzman-Gibbs-Shannon:$-x\cdot \log(x)$

"Temo" que la traza de entropía de Boltzman-Gibbs-Shannon sea la única función que satisface I)-V).

Gracias de antemano por cualquier punto de vista.

Answer 1

Para cualquier$c\in(0,\log2]$, la función$g$definido por la fórmula$g(x)=cx$por$x\in[0,1]$satisface sus condiciones I)-V), pero no es la traza de entropía de Boltzman-Gibbs-Shannon.

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Hay muchas más funciones$g$satisfaciendo sus condiciones I)-V) que no son la traza de entropía de Boltzman-Gibbs-Shannon. En particular, para cualquier$c_1\in(0,\log2)$, cualquier función continua no negativa$H$en$[0,1]$, y cualquier real lo suficientemente pequeño$c_2\ge0$y$c_3\ge0$, la función$g$definido por la fórmula$$g(x)=c_1x-c_2 x\log x-c_3 x\int_0^x du\,H(u)\log\frac xu$$por$x\in[0,1]$satisface sus condiciones I)-V), pero no es la traza de entropía de Boltzmann-Gibbs-Shannon.