Tres desesperados

Question

Tres desesperados A, B y C juegan a la ruleta rusa en la que se turnan para apretar el gatillo de un revólver de seis cilindros cargado con una bala. Cada vez que se gira el cargador para seleccionar al azar un nuevo cilindro para disparar, siempre que no haya caído el disparo mortal. Los desesperados disparan según el orden A, B, C, A, B, C,. . .. Determine para cada uno de los tres forajidos la probabilidad de que este forajido sea el que se mate a tiros.

Tengo que calcular la probabilidad de que A muera en $i$a prueba, por lo que B y C nunca mueren. Estoy gordo$1$la prueba nadie muere tenemos $(\frac{5}{6})^3$. Estoy gordo$i$la prueba nadie muere deberíamos tener $(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$, porque

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}[(A\cap B_1)\cup...\cup(A\cap B_k)]=\mathbb{P}(A\cap B_1)+...+\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A|B_k)$

y desde $A\perp B_k\Rightarrow \mathbb{P}(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A)=(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}+...+(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}=(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=k(\frac{5}{6})^3$

dónde $A=[$A no morir$]$. Por lo tanto, A debería morir en$i+1$th ensayo con probabilidad $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$.

Desafortunadamente, el resultado es $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{3k}$. ¿Por qué?

Answer 1

Tu notación está complicando demasiado el problema. La probabilidad de que el arma dispare primero sobre el$i$-ajuste del gatillo es $(5/6)^{i- 1}\cdot(1/6)$... es decir, la probabilidad de que la primera $i-1$ los tirones del gatillo no disparan y luego el $i$-el que lo hace. $A$ muere si esto sucede en el primer, cuarto, séptimo, etc., apretando el gatillo: si $i=3k+1$ para algo natural $k$. Entonces$$ P(A)=\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{3k}=\frac{36}{91}. $$ Para completar, desde $B$ y $C$ exigir $i=3k+2$ y $i=3k+3$ respectivamente, $$ P(B)=\frac{5}{6}P(A)=\frac{30}{91} $$ y $$ P(C)=\frac{25}{36}P(A)=\frac{25}{91}. $$

Answer 2

Puede resolver este problema sin ninguna suma de series sofisticadas. Tú lo sabes:

$$ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} P(C)$$

Una vez de cada seis $A$perderá de inmediato. En el otro$\frac{5}{6}$ de los casos, $A$ estará en la misma situación $C$ está al comienzo del juego.

A continuación tienes:

$$P(B) = \frac{5}{6} P(A)$$

Si A no pierde al principio, $B$ perderá con probabilidad $P(A)$.

Por supuesto que también tienes:

$$P(A) + P(B) + P(C) = 1 \; ,$$

ya que alguien tiene que perder. Tienes 3 ecuaciones y 3 incógnitas.