$u_t+(u(1-u))_x=a(1-2u)$, método de características para la ecuación de flujo de tráfico con datos iniciales de Riemann
Consideramos la ecuación no conservante$$u_t+(f(u))_x=af'(u)$$donde$a$es una constante y$f(u)=u(1-u)$.
Estoy tratando de resolver esta ecuación por el método de las características con la condición inicial$$u(x,0)=\begin{cases} u_l & x\leq0 \\ u_r & x>0 \\ \end{cases} $$Por método de características, tengo$\displaystyle \frac{dt}{1}=\frac{dx}{1-2u}=\frac{du}{a(1-2u)}$, esto significa que la ecuación de características es$$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-2u$$junto con$\displaystyle \frac{du}{dx}=a, \displaystyle \frac{du}{dt}=a (1-2u).$
Resolviendo estas ecuaciones, llegué hasta$u(x,t)=ax+ g(t)$donde$g$es alguna función de$t$solo. No sé cómo seguir adelante.
Pude resolver esto cuando tuvimos la ecuación$$u_t+(f(u))_x=0$$como allí$u$fue constante a lo largo de la línea de características. Gracias de antemano por cualquier ayuda.
Respuestas
Tenga en cuenta que los datos iniciales$u(x,0)$consiste en una discontinuidad de salto desde$u_l$para$u_r$, por lo tanto, este problema de valor inicial es un problema de Riemann . El popular modelo de flujo de tráfico Lighthill-Witham-Richards (LWR) se recupera cuando$a=0$, y la solución de Riemann correspondiente se describe en esta publicación . Abordemos el caso de la arbitrariedad$a$, por ejemplo , siguiendo un enfoque similar al de esta publicación . Ajuste$v = 1 - 2u$proporciona el PDE$$ v_t + vv_x = -2av $$para el cual el método de las características produce$v = c_1e^{-2at}$,$\frac{v-c_1}{2a} = -x+c_2$y$$ v = f\!\left(x - v\,\frac{e^{2at}-1}{2a}\right) e^{-2at} \, , $$que es equivalente a la solución encontrada en la respuesta de @Dmoreno. Sin embargo, para datos iniciales discontinuos, el método de las características no es suficiente (solo es válido cuando$u$es suave). Por lo tanto, utilizamos métodos apropiados para resolver este problema en el sentido débil, consulte la publicación relacionada . Aquí, encontramos la solución de ondas de choque.$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< x_s(t) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> x_s(t) \end{aligned}\right. ,\qquad x_s(t) = \frac{v_l+v_r}{2}\frac{1-e^{-2at}}{2a} . $$si$v_l > v_r$, y la solución de ondas de rarefacción$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< v_l (e^{-2at} - 1) \\ & \frac{x e^{-2at}}{e^{-2at} - 1} && \text{if}\quad v_l (e^{-2at} - 1)\leq x\leq v_r (e^{-2at} - 1) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> v_r (e^{-2at} - 1) \end{aligned}\right. $$si$v_l < v_r$. Se podría comprobar que la misma solución$u = \frac{1-v}2$se obtiene abordando el problema PDE inicial directamente (sin cambiar las variables).
Desde$\mathrm{d}u/\mathrm{d}x = a$usted obtiene$u - ax = c_1$, y de$a\mathrm{d}t = \mathrm{d}u/(1-2u)$tu obtienes$u = \frac{1}{2}(1-c_2 \mathrm{e}^{-2 at})$. Dejar$c_2 = f(c_1)$obtener una solución implícita para$u$, determinado por la ecuación
$$ u = \frac{1}{2}\left[1-f(u - ax) \, \mathrm{e}^{-2 at}\right]$$
La tarea que tenemos ahora es determinar$f$de la condición inicial y eventualmente resolver para$u$. ¿Puedes tomarlo desde aquí?