Un subconjunto denso para cada uno de los dos conjuntos de Banach respectivamente
Dejar $A$ y $B$ser espacios de Banach con sus propias (posiblemente diferentes) normas. Además, hay un subconjunto no vacío$S \subset A \cap B$ tal que $S$ es denso en $A$ y $B$ respectivamente.
Entonces para $x \in A\cap B$, ¿podemos siempre extraer una secuencia $\{s_n\} \subset S$ tal que $s_n \to x$ en $A$ y $s_n \to x$ en $B$?
Esta pregunta se generaliza a partir de la situación. $A = L^1(\mathbb{R}^n)$, $B = L^2(\mathbb{R}^n)$ y $S = \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$, en cuyo caso, podemos encontrar una secuencia que satisfaga las condiciones anteriores.
¡Te agradecería que me ayudaras!
Respuestas
Aquí está mi contraejemplo propuesto. Se inspira al considerar el dual del ejemplo dado en el Teorema 2 dehttp://faculty.missouri.edu/~stephen/preprints/interpolate.html.
Dejar $$ Z = L^1([0,1]) \oplus L^1([0,1]) \oplus L^1([0,1]). $$ Dejar $A$, $B$ ser subespacios de $Z$ tal que las siguientes normas sean finitas: $$ {\|(f,g,h)\|}_{A} = {\|f-g\|}_\infty + {\|g\|}_1 + {\|h\|}_\infty ,$$ $$ {\|(f,g,h)\|}_{B} = {\|f-h\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_1 .$$ Ambos espacios son isomorfos a $L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^1([0,1])$, por lo que son espacios de Banach.
Podemos calcular eso $$ {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} := \max\{{\|(f,g,h)\|}_{A},{\|(f,g,h)\|}_{B}\}\approx {\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty ,$$ porque $$ {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} \le {\|(f,g,h)\|}_{A} + {\|(f,g,h)\|}_{B} \le 3 ({\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty) ,$$ y \begin{align} {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} &\ge \tfrac12({\|(f,g,h)\|}_{A} + {\|(f,g,h)\|}_{B}) \\&\ge \tfrac14{\|f-g\|}_\infty + \tfrac14{\|f-h\|}_\infty + \tfrac12{\|g\|}_\infty + \tfrac12{\|h\|}_\infty \\&\ge \tfrac14({\|f\|}_\infty-{\|g\|}_\infty) + \tfrac14({\|f\|}_\infty-{\|h\|}_\infty) + \tfrac12{\|g\|}_\infty + \tfrac12{\|h\|}_\infty \\&\ge \tfrac14 ({\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty) .\end{align} Por lo tanto $$ A \cap B = L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) .$$ Dejar $$ S = C([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]). $$ Claramente $S$ no es denso en $A \cap B$. Mostramos$S$ es denso en $A$, como argumento para $S$ denso en $B$ es esencialmente idéntico.
Suponer $x = (f,g,h) \in A$ con ${\|x\|}_A \le 1$, es decir, $$ {\|(f,g,h)\|}_A = {\|f - g\|}_\infty + {\|g\|}_1 + {\|h\|}_\infty \le 1.$$ Tenga en cuenta que $f-g\in L^\infty \subset L^1$y $g\in L^1$, lo que implica $f \in L^1$. Dejar$f_n \in C([0,1])$ ser tal que ${\|f-f_n\|}_1 \to 0$. Conjunto$$ s_n = (f_n, g - f + f_n,h) .$$ Nota $g - f + f_n = (g-f) + f_n \in L^\infty([0,1])$, entonces $s_n \in S$. Entonces como$n \to \infty$, $$ {\|x - s_n\|}_A = {\|(f-f_n, f-f_n, 0)\|}_A = {\|f-f_n\|}_1 \to 0. $$