Un subconjunto denso para cada uno de los dos conjuntos de Banach respectivamente

Aug 19 2020

Dejar $A$ y $B$ser espacios de Banach con sus propias (posiblemente diferentes) normas. Además, hay un subconjunto no vacío$S \subset A \cap B$ tal que $S$ es denso en $A$ y $B$ respectivamente.

Entonces para $x \in A\cap B$, ¿podemos siempre extraer una secuencia $\{s_n\} \subset S$ tal que $s_n \to x$ en $A$ y $s_n \to x$ en $B$?

Esta pregunta se generaliza a partir de la situación. $A = L^1(\mathbb{R}^n)$, $B = L^2(\mathbb{R}^n)$ y $S = \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$, en cuyo caso, podemos encontrar una secuencia que satisfaga las condiciones anteriores.

¡Te agradecería que me ayudaras!

Respuestas

StephenMontgomery-Smith Aug 21 2020 at 11:41

Aquí está mi contraejemplo propuesto. Se inspira al considerar el dual del ejemplo dado en el Teorema 2 dehttp://faculty.missouri.edu/~stephen/preprints/interpolate.html.

Dejar $$ Z = L^1([0,1]) \oplus L^1([0,1]) \oplus L^1([0,1]). $$ Dejar $A$, $B$ ser subespacios de $Z$ tal que las siguientes normas sean finitas: $$ {\|(f,g,h)\|}_{A} = {\|f-g\|}_\infty + {\|g\|}_1 + {\|h\|}_\infty ,$$ $$ {\|(f,g,h)\|}_{B} = {\|f-h\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_1 .$$ Ambos espacios son isomorfos a $L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^1([0,1])$, por lo que son espacios de Banach.

Podemos calcular eso $$ {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} := \max\{{\|(f,g,h)\|}_{A},{\|(f,g,h)\|}_{B}\}\approx {\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty ,$$ porque $$ {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} \le {\|(f,g,h)\|}_{A} + {\|(f,g,h)\|}_{B} \le 3 ({\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty) ,$$ y \begin{align} {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} &\ge \tfrac12({\|(f,g,h)\|}_{A} + {\|(f,g,h)\|}_{B}) \\&\ge \tfrac14{\|f-g\|}_\infty + \tfrac14{\|f-h\|}_\infty + \tfrac12{\|g\|}_\infty + \tfrac12{\|h\|}_\infty \\&\ge \tfrac14({\|f\|}_\infty-{\|g\|}_\infty) + \tfrac14({\|f\|}_\infty-{\|h\|}_\infty) + \tfrac12{\|g\|}_\infty + \tfrac12{\|h\|}_\infty \\&\ge \tfrac14 ({\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty) .\end{align} Por lo tanto $$ A \cap B = L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) .$$ Dejar $$ S = C([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]). $$ Claramente $S$ no es denso en $A \cap B$. Mostramos$S$ es denso en $A$, como argumento para $S$ denso en $B$ es esencialmente idéntico.

Suponer $x = (f,g,h) \in A$ con ${\|x\|}_A \le 1$, es decir, $$ {\|(f,g,h)\|}_A = {\|f - g\|}_\infty + {\|g\|}_1 + {\|h\|}_\infty \le 1.$$ Tenga en cuenta que $f-g\in L^\infty \subset L^1$y $g\in L^1$, lo que implica $f \in L^1$. Dejar$f_n \in C([0,1])$ ser tal que ${\|f-f_n\|}_1 \to 0$. Conjunto$$ s_n = (f_n, g - f + f_n,h) .$$ Nota $g - f + f_n = (g-f) + f_n \in L^\infty([0,1])$, entonces $s_n \in S$. Entonces como$n \to \infty$, $$ {\|x - s_n\|}_A = {\|(f-f_n, f-f_n, 0)\|}_A = {\|f-f_n\|}_1 \to 0. $$