Una CWT inversa integral

Question

La inversión de estado de los documentos icwt de MATLAB debe realizarse mediante una única integral:

$$ f(t) = 2 \Re e\left\{ \frac{1}{C_{\psi, \delta}} \int_0^\infty \left< f(t), \psi(t) \right> \frac{da}{a} \tag{1} \right\} $$

¿De dónde viene esta expresión y cómo se supera la integración? $b$(traducción) eliminado (como en la fórmula de Wiki )? ¿Se mantiene si se computa discretamente sobre logaritmos distribuidos?$a$ (p.ej $(2^{1/32})^{[1, 2, ...]}$)?

Answer 1

La fórmula se basa en la premisa de que la ondícula es analítica , o es distinta de cero solo en frecuencias no negativas:${\hat\psi} (\omega < 0) = 0$. (Tenga en cuenta que todas las wavelets también tienen${\hat \psi (0)}=0$según el criterio de admisibilidad). De Daubechies et al ,

$$ \begin{align} \int_0^\infty W_f(a, b) a^{-1} da & = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty}{\hat f}(\xi) \overline{ {\hat \psi}(a\xi)} a^{-1} da d\xi \tag{1a} \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty \int_0^\infty {\hat f}(\xi) \overline{ {\hat \psi} (a\xi)} e^{jb\xi} a^{-1} da d\xi \tag{1b} \\ &= \int_0^\infty \overline{ {\hat \psi}(z)} \frac{dz}{z} \cdot \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty {\hat f}(\xi) e^{jb\xi} d\xi \tag{1c} \\ \end{align} $$

donde un cambio bastante confuso de variables fue reemplazado por uno más claro, $z=a\xi,\ dz=\xi da$. Tenga en cuenta que este cov solo es válido si las integrales comparten límites, lo cual está habilitado por$\psi$analiticidad; de otra manera,$z$ integraría $-\infty $ a $\infty$, pero $z$ incluye $a$, que solo abarca $0$ a $\infty$. También se utilizó una identidad para dividir integrales.

Asumiendo $f$ es real, tenemos ${\hat f(\xi)} = \overline{\hat f (-\xi)}$, así de $0$ a $\infty$,

$$ \frac{1}{4\pi} \Re e \left\{ \int_0^\infty {\hat f(\xi)} e^{jb\xi} d\xi \right\} = f(b), $$

y ambientación $C_\psi = \int_0^\infty \overline{ {\hat \psi (z)}} z^{-1} dz$ así deriva

$$ \begin{align} f(b) &= \frac{1}{2} \Re e \left\{ \frac{1}{C_\psi} \int_0^\infty W_f(a, b) a^{-1} da \right\} \tag{2a} \\ &= \frac{1}{2} \Re e \left\{ \frac{1}{C_\psi} \int_0^\infty f \star \overline{\psi_a(b)} \frac{da}{a} \right\} \tag{2b} \\ &= \boxed{ \frac{1}{2} \Re e \left\{ \frac{1}{C_\psi} \int_0^\infty \left< f(t), \psi(t) \right> \frac{da}{a} \right\} } \tag{2c} \\ \end{align} $$

Ya que $W_f$ barre $b$ en general $t$, lo anterior es equivalente a $f(t)$.

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El papel que vinculó usa $a^{-3/2}$- De hecho, dado que asume una norma L2 en la ondícula, mientras que MATLAB usa L1; se puede encontrar más información aquí .

Qué pasa con la $\delta$? -- Los$\delta$ es de MATLAB escribiendo la expresión como un caso especial de la inversa más general, como se muestra arriba cerca de ella, con $\left<f, g\right>$, que se deriva aquí .

y el $2 \Re e$? - Buena pregunta, quizás de MATLAB$C_{\psi, \delta}$es un poco diferente, pero según la definición anterior claramente dividimos por dos, no multiplicamos. En caso de duda, pruebe ambos.

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Interpretación : ayuda a observar que$b$en todas las derivaciones se puede reemplazar con una constante , por lo que la relación se mantiene puntual ; si nos integramos junto$a$, es decir, una columna de la representación de frecuencia de tiempo 2D, recuperamos la función en ese punto, $f(b)$.

Observe que en el iCWT de doble integral utilizamos una ondícula dual para "deshacer" el producto interno con la ondícula CWT, análoga a $e^{+j\omega t}$ en $\mathcal{F}^{-1}$; aquí, no usamos ningún kernel inversor: la transformación se deshace cuando se integra en todas las escalas. Esto implica alguna propiedad de simetría en la ondícula.$\psi$en la codificación de información a través de escalas, aunque no estoy seguro de cómo funciona esto exactamente; la más importante es la analiticidad que permite esto en primer lugar, por lo que uno puede buscar allí una respuesta.

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Caso discretizado con distribución exponencial $a$

Desde la misma página de papel vinculado, el caso lineal discretizado lee

$$ f(b) \approx \frac{1}{2} \Re e \left\{ C_\psi^{-1} \sum_k W_f (a_k, b) \frac{(\Delta a)_k}{a_k} \right\}, \tag{3} $$

con $(\Delta a)_k$ tomando el papel de $da$. Para el caso lineal,$(\Delta a)_k = \Delta a$, pero no para el caso del registro, ya que el tamaño del incremento aumenta para mayor $k$. Esa es la única distinción entre logarítmico y lineal.

En la práctica, sin embargo, es mejor usar directamente la transformación discretizada a escala logarítmica, que se deriva de la siguiente manera:

$$ \begin{align} & z = e^a, \ dz = a da \\ & \frac{da}{a^2} = \frac{d \ln (z)}{z} \tag{4} \end{align} $$

Suponer $z(a) = 2^{a/32}$. Tenga en cuenta que el diagrama logarítmico de una escala exponencial es lineal, por lo que la diferencia$\Delta(\ln (z))$ o $d(\ln (z))$es constante e igual a$\ln (z(1))da$. Para ver mejor esto, derivemos directamente para este ejemplo, usando$n_v$ para "número de voces":

$$ z(a) = 2^{a/n_v} \rightarrow dz(a) = z \frac{\ln(2)}{n_v} da = \ln(a_0)da \tag{5} $$

Al discretizar, $da=1$y terminamos con

$$ \boxed{f[] \approx \frac{\ln (a_0)}{2 C_\psi} \Re e \left\{\sum_{k=1}^{K} \frac{1}{a_0^k} W_f (a_0^k, .) \right\} } \tag{6} $$

Igual que Mallat Ec. 4.67 (tenga en cuenta que su derivación es para integral doble, pero se aplica el mismo argumento de escala aquí).