Una definición más sucinta de subcampo
Estoy leyendo el libro de texto Álgebra de Saunders MacLane y Garrett Birkhoff en el que un subcampo se define como
Un subconjunto de un campo$F$es un subcampo si y solo si está cerrado bajo las operaciones unidad multiplicativa, resta, multiplicación e inversa multiplicativa (de elementos distintos de cero).
Mis preguntas:
- De esta definición de subanillo, es decir
Un subanillo de un anillo$(\mathrm{R},+, *, 0,1)$es un subconjunto$\mathrm{S}$de$\mathrm{R}$que conserva la estructura del anillo, es decir, un anillo$(\mathrm{S},+, *, 0,1)$con$\mathrm{S} \subseteq \mathrm{R}$. De manera equivalente, es a la vez un subgrupo de$(\mathrm{R},+, 0)$y un submonoide de$(\mathrm{R}, *, 1)$.
Entiendo "Equivalentemente, es a la vez un subgrupo de$(\mathrm{R},+, 0)$y un submonoide de$(\mathrm{R}, *, 1)$" como
Un subconjunto$S$es un subanillo de$R$si y solo si$S$es un subgrupo aditivo de$(R,+,0)$y$S \setminus \{0\}$es un submonoide multiplicativo de$(R \setminus \{0\},*,1)$.
- Inspirado en la definición anterior. Se me ocurrió una definición más sucinta de subcampo, es decir
Un subconjunto$E$de un campo$(F,+, *, 0,1)$es un subcampo si y solo si$E$es un subgrupo aditivo de$(F,+,0)$y$E \setminus \{0\}$es un subgrupo multiplicativo de$(F \setminus \{0\},*,1)$.
¿Podría verificar si mi comprensión es correcta? ¡Muchas gracias por tu ayuda!
Respuestas
Una pequeña corrección: su segunda formulación (versión de definición de subcampo) es correcta, pero la primera sobre subanillos no es cierta en general:$(R\setminus\{0\},*,1)$en sí mismo no necesita ser un monoide (es decir, cerrado bajo la multiplicación), ya que el anillo$R$puede tener cero divisores o$R\setminus\{0\}$podría estar vacío.
Dicho$(R\setminus\{0\},*,1)$es un monoide (es decir, un submonoide de$(R,*,1)$) ya implica$1\neq 0$y$R$no tiene divisores de cero. En este caso (únicamente),$(S,*,1)$es un submonoide de$(R,*,1)$si y si$(S\setminus\{0\},*,1)$es un submonoide de$(R\setminus\{0\},*,1)$.
Sí, ambos son correctos. Probablemente haya notado el patrón en todas estas definiciones: un sub-floop de un floop$X$es un subconjunto$Y$de$X$eso sigue siendo un fracaso con las operaciones que hereda de$X$.