Una pregunta binomial simple pero complicada [duplicado]

Question

¿Cuál es el número de términos diferentes en la expansión de $(x+\frac{1}{x}+x^2+\frac{1}{x^2})^{15}$?

Sé cómo solucionar este tipo de problemas.

Primero, ordenaría el término en una expresión binomial. La expansión tendrá$(n+1)$ términos diferentes.

Pero, ¿cómo puedo organizarlo en una expresión binomial?

Answer 1

Insinuación :

$$x+\dfrac{1}{x} = t \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$$

$$\therefore \Big(x+\dfrac{1}{x}+x^2+\dfrac{1}{x^2}\Big)^{15} = (t^2+t-2)^{15} $$

Ahora considere el valioso consejo de @ lulu: "¿Cuál es el término de grado más alto? ¿Cuál es el más bajo? ¿Todos los términos intermedios tienen coeficientes distintos de cero?"

Answer 2

Así es como procedería con la pregunta:

$(x+\frac{1}{x}+x^2+\frac{1}{x^2})^{15}$ = $(\frac{1+x+x^3+x^4}{x^2})^{15}$ = $(\frac{1}{x^30})(1+x+x^3+x^4)^{15}$ = $(\frac{1}{x^30})$(1 + ....... + x ^ 60)

Esa expresión tiene 61 poderes diferentes. Entonces la respuesta debería ser 61. ¡Espero que te ayude!