Una pregunta sobre $SK_1$ de anillos

Question

Dejar $B$ ser un anillo conmutativo con unidad y $B/nil(B):=B_{red}$, dónde $nil(B)$ es el nilradical de $B$. Es$SK_1(B)=SK_1(B_{red}) ?$ En particular, ¿es cierto cuando $B$ ¿Qué es un álgebra afín sobre un campo algebraicamente cerrado?

Answer 1

Si. Un elemento en el núcleo de$SK_1(B)\rightarrow SK_1(B_{red})$ está representado por una matriz $M\in GL_n(B)$ para algunos $n$. Escribir$\overline{M}$ para la reducción de $M$ modificación $nil(B)$. Luego$\overline{M}$ es un producto de matrices elementales, todas las cuales se elevan a matrices elementales sobre $B$. Ajustando$M$ en consecuencia, podemos suponer que $\overline{M}$ es la identidad.

De ello se deduce que los elementos en la diagonal de $M$ son todos $1$ modificación $nil(B)$, por lo tanto, todas las unidades en $B$. Esto nos permite usar operaciones elementales para convertir$M$ a una matriz diagonal, que por lo tanto (por el lema de Whitehead) representa el elemento cero de $SK_1(B)$.

(El mismo argumento funciona si $B_{red}$ es reemplazado por $B/I$, dónde $I$ es cualquier ideal contenido en el radical de Jacobson.)