Una sutileza en el problema de la braquistocrona

Aug 20 2020

El siguiente es un ejemplo específico del problema de la braquistocrona, que encontré por primera vez en la escuela de posgrado, y que ocasionalmente he usado como un problema al enseñar CM.

Una partícula se inicia desde el reposo en el origen y se limita a caer bajo la gravedad a lo largo de una trayectoria. $y(x)$ que pasa por el punto $x=5$, $y=-1$(en unidades arbitrarias, por ejemplo metros). Supondremos que el potencial gravitacional es lineal,$V=mgz$.

a) Determine la ruta que minimice el tiempo necesario. Haz un diagrama de ese camino.

b) ¿Existe otro camino que haga estacionario el tiempo empleado? Si es así, haga un diagrama de esa ruta y explique si esta ruta es un mínimo, un máximo o un punto de silla.

La solución al problema de la braquistocrona es, por supuesto, muy conocida, por lo que esta tarea se trata realmente de encontrar una cicloide específica que satisfaga las condiciones de contorno. Como indica la parte b, hay más de uno: la cicloide estándar y dos cicloides que `` rebotan ''.

Ahora está claro que la cicloide simple es el mínimo absoluto, porque el tiempo de recorrido es proporcional al ángulo trazado. Pero ¿qué pasa con los otros dos? Ingenuamente deberían ser sillas de montar, pero la segunda variación de la acción funcional es manifiestamente positiva, lo que indica que son mínimos locales. Pero eso no puede ser correcto, a menos que haya algo gracioso en la topología del espacio de caminos. ¿Son las cicloides mayores puntos de silla o mínimos?

PD: para ver que las cicloides superiores no pueden descartarse fácilmente como soluciones, considere este gráfico de los componentes de la velocidad $(v_x,v_y)$ en función del tiempo para la segunda cicloide.

Los componentes correspondientes de la aceleración son:

Claramente, la aceleración (y las fuerzas de restricción) son perfectamente suaves.

Respuestas

5 Qmechanic Sep 06 2020 at 04:33

TL; DR: una ruta construida por partes a partir de más de 1 cicloide (cada una con energía posiblemente diferente$E$, ver abajo), y con cúspides en el $x$-eje, no es estacionario.

Prueba bosquejada:

  1. Recuerde que la acción (= tiempo invertido) del problema de la braquistocrona es$$S~=~\int_0^a\! \mathrm{d}x~L,\qquad L~=~\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{y}},\qquad y~\geq~ 0,\tag{1}$$ con condiciones de contorno $y(0)=0$ y $y(a)=b$. (Aquí el$y$-eje apunta hacia abajo y elegimos por simplicidad unidades de tiempo y espacio tales que $2g=1$.)

  2. Físicamente, exigimos que el camino $x\mapsto y(x)$es al menos continuo. Matemáticamente, el integrando debería ser simplemente integrable de Lebesgue. Para ser lo más simple posible pero también incorporar los ejemplos de OP, lograremos un compromiso conveniente y asumiremos que el camino$x\mapsto y(x)$es diferenciable continuamente por partes , aunque permitiremos la derivada$y^{\prime}\equiv \frac{dy}{dx}$ volverse singular en los puntos entre las piezas siempre que el integrando siga siendo Lebesgue integrable.

  3. De ello se deduce que una trayectoria estacionaria satisface necesariamente la ecuación de Euler-Lagrange (EL) dentro del interior de cada pieza. Pueden surgir condiciones adicionales en los puntos entre las piezas.

  4. Dado que el Lagrangiano $L$ no tiene explícito $x$-dependencia se conserva la noción correspondiente de energía (dentro de una pieza): $$E~=~ y^{\prime} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}-L~\stackrel{(1)}{=}~-\frac{1}{\sqrt{y(1+y^{\prime 2})}}~<~0.\tag{2}$$

  5. La solución de la pieza es una cicloide: $$\begin{align} 2E^2x~=~&\theta-\sin\theta~\approx~\frac{\theta^3}{6},\cr 2E^2y~=~&1-\cos\theta~\approx~\frac{\theta^2}{2},\end{align}\tag{3}$$donde la aproximación es válida cerca de la cúspide. La ecuación de la cúspide se convierte en$$ y~\stackrel{(3)}{\propto}~ x^{2/3}.\tag{4}$$ Cerca de la cúspide, la partícula realiza un movimiento de caída libre, que es suave en función del tiempo. $t$.

  6. La idea ahora es truncar la cúspide en algún nivel horizontal $y=\epsilon\ll 1$, es decir, en algunos $x~\propto~ y^{3/2}~=~\epsilon^{3/2}$. (Para simplificar, consideramos solo la rama derecha de la cúspide; la rama izquierda es similar). La acción de la cúspide es$$L~\stackrel{(1)+(2)}{=}~\frac{1}{|E|y}~\stackrel{(4)}{\propto}~ x^{-2/3}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~x^{1/3} ~\propto~\epsilon^{1/2}.\tag{5}$$ A modo de comparación, la acción de la ruta horizontal es como se esperaba más rápida: $$L~\stackrel{(1)}{=}~\frac{1}{\sqrt{y}}~=~ \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~\frac{x}{\sqrt{\epsilon}} ~\stackrel{(4)}{\propto}~\epsilon.\tag{6}$$ Esto muestra que podemos cambiar la acción a primer orden en $\epsilon$, y por tanto el camino no es estacionario. $\Box$