Una versión del teorema de Hurwitz

Question

Pregunta : Deja$\{f_n\}$ ser una secuencia de función analítica en $\mathbb{C}$ que convergen uniformemente en subconjuntos compactos de $\mathbb{C}$ a un polinomio $p$ de grado $m$. Demuestra eso por$n$ suficientemente grande, $f_n$ tiene al menos $m$ ceros (contando multiplicidades).

Intento : sé que esta es una versión del teorema de Hurwitz, pero no quiero decir simplemente "por Hurwitz". Si$f_n$ es idénticamente $0$, entonces el problema es trivial, así que supongamos que no es el caso. Por cualquier punto$z_0\in\mathbb{C}$, hay un $r>0$, tal que $0<|z-z_0|\leq r$. Dejar$|z-z_0|=r$ ser el circulo $C$. Entonces, por convergencia uniforme en$C$ (ya que $C$ es compacto ya que es un círculo) tenemos $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$y $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$. Entonces,$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'_n(z)}{f_n(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{p'(z)}{p(z)}dz.$$ Por tanto, dado que la integral en el LHS da el número de ceros de $f_n(z)=0$ dentro $C$, vemos eso $f_n$ y $p$ tener el mismo número de ceros dentro $C$. Dejando$r\rightarrow\infty$ da el resultado en $\mathbb{C}$.

¿Ves algo malo en la prueba? En particular, ¿ocurre algo con el "para$n$ ¿Partes del problema lo suficientemente grandes "o" contando multiplicitas "con las que debería tener cuidado? ¡Cualquier ayuda es muy apreciada! Gracias.

Answer 1

Hay algunos problemas con su argumento:

Por cualquier punto $z_0\in\mathbb{C}$, hay un $r>0$, tal que $0<|z-z_0|\leq r$.

Que es $z$ ¿aquí?

Entonces, por convergencia uniforme en $C$ (ya que $C$ es compacto ya que es un círculo) tenemos $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$...

Usted necesita que $p(z) \ne 0$ en $C$ para esta conclusión.

... y $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$.

Puede ser, pero lo que necesitas es que $f_n'(z) \to p'(z)$ en $C$.

Comenzaría de la siguiente manera: primero, podemos asumir que el grado $m$ de $p$ es al menos uno (de lo contrario, no hay nada que mostrar), de modo que $p$es un polinomio no constante. Entonces escoge$r > 0$ tan grande que todas las raíces de $p$ estan adentro $\{ |z| < r \}$. Ahora considera el círculo$C$ centrado en el origen con radio $r$. Tenga en cuenta que$p$ es distinto de cero en $C$.

Finalmente demuestre que $f_n'/f \to p'/p$ uniformemente en $C$y aplicar el principio de argumento.