¿VECM representa un sistema I (0)?

Question

Me refiero a Johansen (1991) donde considera un$p$-proceso de orden autorregresivo dimensional $k$

$$ X_t = \sum_{i=1}^{k} \Pi_i X_{t-i} \ + \ \epsilon_t \tag{1}\label{1} $$

escrito en forma de corrección de errores vectoriales

$$ \Delta X_t = \Pi X_{t-1} \ + \ \sum_{i=1}^{k-1} \Gamma_i \Delta X_{t-i} \ + \ \epsilon_t \tag{2}\label{2} $$

dónde $\Pi = \sum_{i=1}^k \Pi_i \ - \ I$ y $\Gamma_i = - \sum_{j=i+1}^k \Pi_j$.

Afirma sin referencia ni prueba que si el $\ p\times p \ $ matriz $\Pi$ tiene rango completo entonces $X_t$ es un proceso estacionario.

¿Alguien puede proporcionarme una referencia o puede probarlo?

Answer 1

Sí, daré una referencia y una intuición rápida. En Lutkepohls "Nueva introducción al análisis de series temporales múltiples" (2005, p.248), explica que el rango completo de$\Pi$ en la ecuación (2) en realidad implica que $X$está estacionario. El rango de una matriz está directamente relacionado con su invertibilidad, las matrices de rango completo son invertibles y las matrices de rango inferior son singulares. Esto es obvio si piensa en el determinante como el producto de los elementos diagonales de la matriz reducida, cuando no es de rango completo, al menos un elemento en este producto es cero, lo que hace que el determinante sea cero. La invertibilidad de$\Pi$tiene que ver con la estabilidad de$\Pi$, que a su vez implica estacionariedad.