Verifique la convergencia de la serie $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left (n!\right )^2}{\left (2n+1\right )!}4^n}$

Question

Quiero comprobar si las siguientes series convergen o no.

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left (n!\right )^2}{\left (2n+1\right )!}4^n}$

Supongo que tenemos que encontrar aquí un límite superior y aplicar luego la prueba de comparación. Pero realmente no tengo una idea de qué límite podríamos tomar. ¿Podrías darme una pista?

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}$

Tenemos un término que es producto de la forma $\frac{2i-1}{2i}=1-\frac{1}{2i}$. Para aplicar la prueba de comparación tenemos que encontrar un límite superior. ¿Tiene eso?$1-\frac{1}{2i}\leq \frac{1}{2}$ y entonces $$\prod_{i=1}^n\left (1-\frac{1}{2i}\right )\leq \prod_{i=1}^n \frac{1}{2}=\frac{1}{2^n}$$ Entonces tomando la suma que obtenemos $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}\leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n}=1$$ Entonces, de la prueba de comparación, la suma original también debe converger.

¿Todo correcto?

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n\cdot (2n+2)}}$

Tenemos un término que es producto de la forma $\frac{2i-1}{2i+2}$. ¿Qué límite superior podríamos usar en este caso?

Answer 1

Algunas pistas:

Primero podemos usar la prueba de Raabe$$n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right) = \frac{n}{2(n+1)}$$

Por segundo $$\frac{1}{2\sqrt{n}} \leqslant \frac{1}{2} \frac{3}{4} \cdots \frac{2n-1}{2n} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2n}}\quad (1)$$

Prueba:

Xa $n=1$ tenemos $\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}} $, entonces asumamos $n \geqslant 2$. Tenemos$$\frac{3}{4}>\frac{2}{3}, \frac{5}{6}>\frac{4}{5},\frac{7}{8}>\frac{6}{7}, \cdots, \frac{2n-1}{2n}>\frac{2n-2}{2n-1}$$ la multiplicación de estas desigualdades da $$\frac{3}{4} \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} > \frac{2}{3} \frac{4}{5} \cdots \frac{2n-2}{2n-1}$$ Ahora, si multiplicamos los lados izquierdo y derecho en el lado izquierdo, tenemos $$\left( \frac{3}{4} \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} \right)^2 > \frac{1}{n} $$ Que es el lado izquierdo de (1).

Answer 2

La aproximación de Stirling implica $\binom{2n}{n}\sim\frac{4^n}{\sqrt{n\pi}}$, entonces $\frac{n!^24^n}{(2n+1)!}\sim\frac{\sqrt{\pi}/2}{\sqrt{n}}$, entonces la serie diverge.